Численное интегрирование функций

ФГБОУ

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедракомпьютерной математики

 

                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

«Языки и технологии программирования»

Группа МКН-107 Фамилия И.О. Подпись Дата Оценка
Студент Тен Д.К      
Консультант Житников В.П      
Принял Зиннатуллина О.Р      

Уфа 2012

 

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

«Языки и технологии программирования»

Факультет, группа: ОНФ, МКН-107 Студент: Тен Д.К.

Вариант:___12__Срок сдачи работы - ____16_____ неделя

 

1. . Численное интегрирование функций методом трапецийфункции y=x/(x^2+1)

2. Оценка погрешности и уточнение результатов методом Ромберга.

 

 

Дата выдачи задания: «_13__»_______03________ 2011г.

Преподаватель: ______________________________


 

СОДЕРЖАНИЕ

    Стр.
Введение  
1 Теоретические основы  
  1.1 Численное интегрирование функции  
  1.2 Применение экстраполяции для оценки погрешности интегрирования  
2 Программная реализация метода интегрирования по методу трапеций и оценки погрешности результата, уточнения результата  
3 Визуализация результатов уточнения  
Заключение  
Список литературы  

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью данной курсовой работы является приобретение знаний и навыков, необходимых для разработки программного обеспечения при проведении расчетов, требующих численного дифференцирования функций, а также оценки результатов расчетов и их уточнения.

Курсовая работа состоит из трех разделов. В первом разделе содержатся теоретические сведения по численному интегрированию функций и применению экстраполяции для оценки погрешности интегрирования. Второй раздел содержит программную реализацию используемых методов – листинг программы, написанной на языке C++, с подробными комментариями. Третий раздел включает визуализацию результатов уточнения полученных значений, составленную средствами Microsoft Excel.

Численное нахождение интеграла функции осуществляется посредством методом трапеций. Для оценки погрешности найденного решения и его уточнения проводится несколько этапов экстраполяции полученных значений с использованием процесса Ромберга. Для оценки необходимости последующей экстраполяции используется следующее условие: оценка принимается, если коэффициент уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями меньше 1/3. Визуализация результатов уточнения полученных значений представляет собой графическое сравнение полученных значений с точным, "эталонным" значениями и по правилу Рунге.

Данная работа может быть использована студентами и специалистами при разработке программного обеспечения для проведения математических расчетов.


ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Численное интегрирование функций

 

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f(x)

. (6)

Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y= f(x), осью x и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 2).

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек xjÎ[a,b], xj=a+jh, j=0,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим fj=f(xj).

С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).

Рис. 2. Численное интегрирование

Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов

. (7)

Метод трапеций

 

Рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис.а). Тогда интеграл приближенно равен ее площади

,

Рис. а