Выбор постоянных весовых коэффициентов

Теоретическая часть

Пусть система описывается векторным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:

- матрица коэффициентов объекта управления, коэффициенты зависят от времени;

- прямоугольная матрица распределения управляющих воздействий. Коэффициенты этой матрицы также зависят от времени.

Необходимо перевести систему из некоторого начального состояния x(t₀) в заданное конечное состояние

x(t_k) 0, (2)

используя допустимые функции управления и не выходя за допустимые пределы по фазовым переменным в процессе движения.

Один из методов решения этой задачи состоит в минимизации критерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления

Здесь G_kи Q(t) - положительно полуопределенные матрицы, R(t) - положительно определенная матрица.

Управление , минимизирующее (3), можно найти путем совместного решения уравнения (1) и уравнения Эйлера-Лагранжа

где гамильтониан

откуда

Подстановка (7) в (1) приводит к следующей линейной краевой задаче:

Результатом решения двухточечной краевой задачи (8), (9) является программное управление

где симметричная матрица S(t) определяется из матричного уравнения Риккати

при граничном условии S(t_k) = G_k, а и связаны линейным преобразованием

Вектор можно найти из уравнения

Для задачи терминального управления основной интерес представляет сам непрерывный закон управления с обратной связью

Выбор постоянных весовых коэффициентов

Закон управления и реакция системы в значительной степени зависят от выбора весовых коэффициентов показателя качества. Взаимосвязь весовых коэффициентов и параметров оптимальной системы или ее реакцией в общем случае очень сложная.

Для получения допустимых уровней величин , и матрицы G_k, Q(t) и R(t) могут быть выбраны, например, диагональными со следующими элементами:

Для стационарных систем метод выбора коэффициентов функционала предложен Эллертом.

Для объекта второго порядка, описываемого уравнением

с показателем качества

где t_k=, а матрицы Q и R имеют вид

закон управления имеет вид

в котором коэффициенты определяются из решения системы нелинейных алгебраических уравнений (11) Риккати

а вектор определяется из уравнения (13)

Так как замкнутая система линейная стационарная, то ее передаточная функция определяется как

Согласно процедуре Эллерта выбор коэффициента “демпфирования” обеспечивает требуемую степень устойчивости системы при условии, что ни одна из переменных системы не превышает заданных пределов.

Постоянная времени T выбирается в соответствии с требуемой полосой пропускания системы или ограничениями на u₂(t) из уравнения

при подстановке в него максимально допустимой величины u₂(t), “наихудших” x₁(t), x₂(t) и v₁(t), предварительно разрешив уравнения (22) относительно .

После определения и T весовые коэффициенты q₁₁и q₂₂задаются уравнениями

Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенты q₁₁и q₂₂должны быть неотрицательными. В сущности, это требование служит проверкой непротиворечивости требований проектирования в предположении правомерности выбора квадратичного показателя качества с постоянными весовыми коэффициентами.

После определения этих величин предположение о бесконечном t_kотбрасывается (это является слабым местом методики Эллерта) и рассчитывается оптимальная система для заданного t_k.

Для объектов, описываемых уравнениями более высокого порядка, уравнение (23) принимает вид

соответственно для систем первого, второго и третьего типа, то есть систем соответственно с нулевой установившейся ошибкой при единичном ступенчатом входном сигнале, единичном линейно нарастающем входном сигнале и т.д.

Практическая часть

Исходные данные:

ü Коэффициент обратной связи