Определение параметров математической модели
Как уже упоминалось выше, в качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта. Входными показателями объекта считаются:
K(ti) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.);
L(ti) - величина используемых трудовых ресурсов (тыс. чел.).
А в качестве выходного показателя принимается X(ti) - величина валового выпуска продукции (млрд.руб.) (см. таблица 1).
Таблица 1
Исходные данные
| t | X | K | L |
| 132,61 | 70,3 | ||
| 138,58 | 71,7 | ||
| 145,68 | 73,1 | ||
| 154,38 | 74,6 | ||
| 161,64 | 76,1 | ||
| 157,97 | 79,1 | ||
| 153,15 | 82,3 | ||
| 148,03 | 85,6 | ||
| 144,66 | |||
| 154,21 | 94,4 | ||
| 164,55 | |||
| 177,35 | |||
| 194,69 | 116,6 | ||
| 227,11 | 128,3 | ||
| 266,52 | 141,1 |
В качестве математической модели принимается производственная функция Кобба - Дугласа, вида:
Необходимо определить параметры А, α1, α2. Для этой цели проводим логарифмирование данной функции и получаем линейное уравнение регрессии вида:
lnX(ti) = lnA + α1* lnK(ti) + α2* lnL(ti).
Используя стандартную функцию «ln» табличного редактора (ТР) "Excel", находим значения величин lnX(ti), lnK(ti), lnL(ti) (см. табл. 2).
Таблица 2
Значения lnX, lnK, lnL
| t | lnX | lnK | lnL |
| 4,887 | 6,583 | 4,253 | |
| 4,931 | 6,723 | 4,272 | |
| 4,981 | 6,863 | 4,292 | |
| 5,039 | 7,003 | 4,312 | |
| 5,085 | 7,143 | 4,332 | |
| 5,062 | 6,920 | 4,371 | |
| 5,031 | 6,696 | 4,410 | |
| 4,997 | 6,472 | 4,450 | |
| 4,974 | 6,250 | 4,489 | |
| 5,038 | 6,346 | 4,548 | |
| 5,103 | 6,441 | 4,605 | |
| 5,178 | 6,535 | 4,663 | |
| 5,271 | 6,631 | 4,759 | |
| 5,425 | 6,968 | 4,854 | |
| 5,585 | 7,304 | 4,949 |
Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии и статистических критериев, характеризующих значимость и точность найденного уравнения используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».
Получаем следующие таблицы:
Таблица 3
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,99987465 |
| R-квадрат | 0,999749315 |
| Нормированный R-квадрат | 0,999707535 |
| Стандартная ошибка | 0,003245661 |
| Наблюдения |
Таблица 4
| Дисперсионный анализ | |||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 0,504139918 | 0,252069959 | 23928,46725 | 2,48179E-22 | |
| Остаток | 0,000126412 | 1,05343E-05 | |||
| Итого | 0,50426633 |
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y-пересечение | 0,040532091 | 0,024625807 | 1,645919259 | 0,1257001 | -0,0131229 | 0,0941871 |
| lnK | 0,259057537 | 0,002890817 | 89,61394525 | 2,49046E-1 | 0,25275898 | 0,26535608 |
| lnL | 0,737895089 | 0,003966108 | 186,0501958 | 3,9084E-22 | 0,72925368 | 0,74653649 |
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но о том, что коэффициент регрессии равен 0. Значение F-критерия признается достоверным, если оно больше табличного, тогда нулевая гипотеза отвергается и уравнение регрессии признается значимым. В данной задачe значимость F близка к 0 (2,48-E), т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы (нулевая гипотеза отвергается). Значит, что найденное уравнение регрессии близко к истинному и имеет коэффициенты отличные от 0.
В таблице «Дисперсионный анализ» Р-значение характеризует вероятность принятия нулевой гипотезы по каждому коэффициенту регрессии. В рассматриваемой задаче нулевую гипотезу можно отвергнуть.
После выполнения проверок, вычисляем величину нейтрального технического прогресса А, используя стандартную функцию "ЕХР" ТР "Excel" . Получаем результат вычисления: А =1,04.
Итак, производственную функцию Кобба-Дугласа можно записать так:
Строим графики производственной функции:
- X = f(K) при L = Lmax = const;
- X = f(L) при K = Kmax = const.
Значения K и L принимаем в пределах от 0 до максимального значения. Получаем Lmax = 141,1 Kmax = 1486. Шаг вычислений определяем по формулам:
K = Kmax/20, L = Lmax/20 (74,3 и 7,005 соответственно). Строим графики, используя «Мастер диаграмм» TP Excel. (Приложение 1 и 2).
На основании проведенных вычислений можно сделать вывод, что корреляционная связь, описанная уравнением
с большой долей вероятности точно характеризует взаимосвязь результирующего показателя X(ti) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.). с К(ti) - величиной основных производственных фондов (млрд. руб.) и L (ti) - величиной используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).
Исследование модели
Производственная функция Кобба-Дугласа обладает свойством, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается. Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на единицу прироста фактора:
β(ti) - предельная эффективность фондов;
γ(ti) - предельная эффективность труда.
Эти величины рассчитываются по формулам:
В данном случае предельная фондоотдача пропорциональна (но меньше ее) средней фондоотдаче f(ti) с коэффициентом α1 < l, а предельная производительность труда - средней производительности труда p(ti) с коэффициентом α2 < 1.
В таблице 5 содержатся значения предельной эффективности факторов, средней фондоотдачи и производительности труда, а в приложении 3 - графики изменения этих величин, которые имеют общую тенденцию.
Таблица 5