Рішення інженерних задач за топографічною картою
2.1. Визначення висот точок на топографічній карті за горизонталями.
2.2. Визначення крутизни схилу на топографічній карті за горизонталями.
2.3. Побудова лінії із заданим ухилом на топографічній карті.
2.4. Побудова профілю за заданим напрямком.
Прилади і обладнання: топографічна карта, калькулятор, вимірник, лінійка, олівець, гумка.
2.1. Висотою точки називається віддаль, визначена за прямовисною лінією, від точки на поверхні Землі до певної рівневої поверхні, прийнятої за початок відліку. Якщо висоти точок визначені відносно основної рівневої поверхні, то такі висоти називаються абсолютними (рис. 2.1). На території України за основну рівневу поверхню прийнято середній рівень Балтійського моря і рахунок висот ведеться від нуля Кронштадського футштоку (Балтійська система висот). Висоти точок обчислені відносно деякої умовної рівневої поверхні називаються відносними або умовними. Висота однієї точки відносно іншої називається перевищенням і обчислюється за формулою:
. (2.1)
Рис. 2.1. Висоти точок
Рельєф місцевості це сукупність нерівностей земної поверхні. В даний час рельєф на топографічних картах зображають за допомогою горизонталей в поєднанні зі способом висот, причому на одному квадратному дециметрі карти підписують, як правило, не менше п’яти висот. Горизонталь – це крива лінія, яка з’єднує точки з однаковими висотами. Основні властивості горизонталей наступні:
1) горизонталі є кривими і замкненими лініями;
2) горизонталі ніколи не перетинаються;
3) чим ближча віддаль між горизонталями, тим крутіший схил місцевості.
Побудову горизонталей на карті виконують за висотами характерних точок рельєфу місцевості.
Рис. 2.2. Принцип побудови горизонталей
Для того, щоб зобразити горизонталями рельєф ділянки місцевості, потрібно перетнути його декількома горизонтальними площинами, розташованими на однаковій відстані по висоті одна від одної (рис. 2.2). Ця відстань, між сусідніми січними площинами по висоті, називається висотою перерізу рельєфуі позначається літерою h. Висоту перерізу рельєфу підписують на картах під лінійним масштабом (позиція 17 на рис. 1.4). Віддаль на плані між сусідніми горизонталями називається закладеннямгоризонталей і позначається літерою d. Для визначення напрямку схилу за горизонталями на них показують бергштрихи – короткі штрихи, перпендикулярні до горизонталей і направлені за схилом вниз.
Основні горизонталі мають висоти, кратні висоті перерізу рельєфу h. Для вираження характерних особливостей рельєфу, а також на рівнинних територіях, рекомендується проводити напівгоризонталі – вони проводяться штриховими лініями через половину перерізу рельєфу на окремих ділянках карти (де відстань між основними горизонталями є дуже великою). Кожну п’яту основну горизонталь при h = 1, 2, 5, 10 м і кожну четверту при h = 0,5 і 2,5 м зображають потовщеною і підписують, орієнтуючи основи цифр вниз за схилом.
Визначення висот точок за горизонталями:
а) точка А (рис. 2.3) знаходиться на горизонталі.
Як видно з рисунку, висота точки А дорівнює висоті горизонталі, тобто НА=150,00 м.
б) точка В (рис. 2.3) знаходиться між горизонталями.
Висоту обчислюємо за формулою:
, (2.2)
де H0 – висота меншої горизонталі, м;
a – відстань від меншої горизонталі до точки В, мм;
d – закладення горизонталей, мм;
h – висота перерізу рельєфу, м.
Наприклад на рис. 2.3 висота меншої горизонталі H0=150 м, відстань від меншої горизонталі до точки В a=5 мм, закладення горизонталей d=10 мм, висота перерізу рельєфу h=2,5 м. Тоді висота точки В, згідно формули (2.2) рівна 
.
Рис. 2.3. Визначення висот точок за горизонталями
в) точка С (рис.2.3) знаходиться в середині замкненої горизонталі.
Висоту обчислюємо за формулою:
. (2.3)
Знак „+” береться якщо точка С знаходиться всередині підвищення, знак „-” – якщо всередині пониження.
Наприклад, як видно з рис. 2.3, точка С знаходиться в середині підвищення, а висота меншої горизонталі H0=157,5 м. Отже 
.
г) точка D (рис.2.3) знаходиться не в центрі замкненої горизонталі.
Висоту точки обчислюємо за формулою (2.2), з тією різницею, що замість висоти перерізу рельєфу h підставляємо перевищення вершини (в даному випадку точки С) над меншою горизонталлю. Тобто, в даному прикладі, спочатку необхідно знайти висоту точки С (HC=158,75 м – див. пункт в). Далі знаходимо висоту меншої горизонталі H0=157,5 м, відстань від меншої горизонталі до точки D a=4 мм та відстань від горизонталі до точки С d=9 мм. Після цього обчислюємо висоту точки D: 
.
2.2. Крутизна схилу – це ступінь пониження або підвищення місцевості. Мірою крутизни схилу є ухил, який визначають за формулою:
, (2.4)
де і – ухил;
ν – кут нахилу;
h – перевищення між точками, м;
d – закладення (відстань між точками на місцевості), м.
Перетнемо схил гори горизонтальними площинами при висоті перетину h (рис. 2.4). На ділянці BC схил має кут нахилу ν1, на ділянці CD – кут нахилу ν2. Відстань d1 – це горизонтальне закладення лінії схилу BC (закладення). Для визначення ухилу між точками В і С, які знаходяться на сусідніх горизонталях, визначають закладення d1 на топографічній карті і перевищення hBC між точками. Використовуючи формулу (2.4), знаходять ухил іВС. Аналогічно визначають ухил іCD – за закладенням d2 та перевищенням hCD між точками C і D. Наприклад на рис. 2.4 перевищення hBC =hCD =2,5 м, закладення d1 =1,8 см=36 м (в масштабі 1:2000), d2 = 0,9 см =18 м. Тоді ухили, згідно формули (2.4) рівні іВС =2,5м/36м=0,0694, іCD =2,5м/18м=0,1389. Ухили отримані за формулою (2.4) виражаються в тисячних частках. Крім того ухили ліній можна виражати у відсотках (%) або у проміле (‰). Наприклад: іCD =0,1389=13,89%=138,9‰.Для отримання ухилу у відсотках результат обчислений за формулою (2.4) домножується на 100, а у проміле – домножується на 1000.
Рис. 2.4. Визначення ухилу
У випадку, коли необхідно визначити ухил за лінією, крайні точки якої не лежать на горизонталях, спочатку необхідно визначити висоти цих точок. Наприклад необхідно визначити ухил за лінією BC (рис. 2.3). Висоти точок В та С визначені у питанні №1 (пункти б, в) та становлять відповідно 151,25 м та 158,75 м. Відстань між точками dВС = 3,8 см, що в масштабі 1:2000 становить 76 м. Тоді ухил:
.
Для практичних цілей, для визначення ухилу і будують спеціальний графік, який називають масштабом закладень (рис.2.5). Він будується наступним чином:
- задаються значеннями ухилів;
- обчислюють закладення (на місцевості) в метрах, для заданих ухилів і за формулою:
, (2.5)
де h зазвичай береться рівним висоті перерізу рельєфу;
- вздовж горизонтальної осі відкладають обрані значення ухилів в довільному масштабі;
- перпендикулярно до горизонтальної осі відкладають, в масштабі карти, закладення обчислені для кожного значення ухилу;
- сполучають отримані точки плавною кривою.
Рис. 2.5. Масштаб закладень для ухилів
Якщо тепер потрібно визначити ухил для конкретного закладення d, розхилом вимірника, рівним d, знаходять відповідне місце на графіку і прочитують значення ухилу (рис. 2.6). Знак ухилу беруть „+”, якщо висоти за напрямком лінії зростають та „-” – якщо спадають.
Масштабом закладень користуються лише коли необхідно визначити ухил між точками з перевищенням рівним висоті перерізу рельєфу (тобто між точками, які знаходяться на сусідніх горизонталях).
Рис. 2.6. Визначення ухилів за масштабом закладень
2.3. Нехай на карті (рис. 2.7, а) задано точки D і С, між якими необхідно провести лінію так, щоб жоден відрізок не мав ухилу більшого, ніж заданий.
Розраховуємо величину закладення dгран, для заданого ухилу і перерізу рельєфу, за формулою (2.5). Якщо початкова (кінцева) точка лежить між горизонталями, то необхідно знайти закладення d'гран. Для цього визначають перевищення між початковою (кінцевою) точкою і горизонталлю та обчислюють закладення d'гран, за формулою (2.5) Значення необхідного закладення беремо в розхил вимірника і з точки D засікаємо на сусідній горизонталі точку Р1, потім переставляємо вимірник в точку Р1 і так само засікаємо на наступній горизонталі точку Р2 , і т.д. Якщо розхил вимірника менший ніж відстань між горизонталями, то засічку роблять у найбільш вигідному напрямку. З’єднавши всі точки, одержуємо ламану лінію із ухилом, який не перевищує заданого. Дана задача має декілька варіантів розв’язання, з яких вибираємо найкращий.
2.4. Профіль місцевості – зменшене зображення вертикального розрізу земної поверхні за заданим напрямком. Як правило профіль будується у двох масштабах – горизонтальному і вертикальному. Горизонтальний масштаб, зазвичай, приймається рівним масштабу карти чи плану, а вертикальний – в 10 разів крупнішим.
Рис. 2.7. Побудова профілю і лінії з заданим ухилом:
а) побудова лінії з ухилом не більшим заданого; б) побудова профілю місцевості за заданим напрямком
Побудова профілю місцевості за заданим напрямком виконується таким чином: на топографічній карті (рис. 2.7, а) даного масштабу (1:2000) задають напрямок 001, за яким необхідно побудувати профіль. Точки перетину ліній з горизонталями (1, 2, 3, 5, 6, 7) і характерними точками рельєфу (4) нумерують. На аркуші міліметрового паперу будують графи віддалей, висот і номерів точок (рис. 2.7, б). В графу віддалей переносять з карти точки перетину і записують довжини інтервалів між ними на місцевості (в метрах). В графу висот записують значення висот у точках перетину і від лінії умовного горизонту будують перпендикуляри, відкладаючи на них висоти у вертикальному масштабі. Кінці перпендикулярів з’єднують ламаною лінією і одержують профіль місцевості у заданому масштабі.
Приклади типових завдань:
Завдання 1
За топографічним планом визначити висоти точок D та P1 (рис. 2.7, а) (P1 – на горизонталі, D – між горизонталями).
Розв’язок:
а) визначаємо січення горизонталей на плані: h=1 м; знаходимо найближчу підписану горизонталь, її висота Н=150,00 м; за бергштрихами визначаємо в який бік висоти зростають; визначаємо висоту горизонталі на якій знаходиться точка P1, а отже й висоту точки P1: НP1=Нгор=149,00 м.
б) відповідно до рис. 2.3 проводимо через точку D найкоротшу лінію між сусідніми горизонталями і вимірюємо її довжину d=7 мм; вимірюємо на плані відстань від горизонталі з меншою висотою до точки D: a=3 мм; визначаємо січення горизонталей на плані: h=1 м; визначаємо висоту меншої горизонталі Нгор=149,00 м; обчислюємо висоту точки D:
= 
= 149,43 м.
Завдання 2
Визначити крутизну схилу між точками за лінією OO1 (рис. 2.7, а) (між точками О-O1, О-1, 7-O1 за формулою (2.4), а між відрізками лінії 1-2, 2-3, … – за масштабом закладень).
Розв’язок:
Сполучаємо точки О та O1 прямою лінією. Точки перетину лінії OO1 з горизонталями нумеруємо 1, 2, 3, …, 7.
Примітка: у випадку, коли лінія OO1 перетинає лінію водорозділу (водозбору), то в найвищій (найнижчій) точці ставиться додаткова точка, яка також нумерується. В даному випадка лінія OO1 перетинає котловину в найнижчій точці, яку позначимо 4.
Визначаємо загальний ухил по лінії OO1, за формулою (2.4):
= 
=-0,0017,
де НО, НО1 – висоти точок О та О1, м;
– відстань між точками О та О1: =180,0 м.
Аналогічно визначаємо ухил за всіма відрізками, перевищення між якими не дорівнює висоті перерізу рельєфу:
;
;
;
.
Ухил між точками, що знаходяться на горизонталях визначається за допомогою масштабу закладень, який необхідно побудувати. За формулою (2.5) обчислюємо закладення для заданих ухилів:
| і | d на місцевості, м | d на карті, мм |
| 0,005 | ||
| 0,01 | ||
| 0,02 | ||
| 0,03 | 33,3 | 16,6 |
| 0,05 | ||
| 0,1 | ||
| 0,2 | 2,5 | |
| 0,3 | 3,3 | 1,6 |
| 0,5 |
За обчисленими значеннями закладень на карті будуємо масштаб закладень.
Для визначення ухилів, за побудованим масштабом закладень, беремо в розхил вимірника відстань між точками О та 1 і прикладаємо до перетину з масштабом закладень (як показано на рис. 2.6). Знак перед ухилом ставимо „+” – якщо кінцева точка лінії вище за початкову, та „-” – якщо кінцева точка нижче ніж початкова. Аналогічно визначаємо ухили між всіма точками, перевищення між якими рівне перерізу рельєфу:
і1-2=-0,050; і2-3=-0,042;
і5-6=+0,026; і6-7=+0,028;
Завдання 3
Побудувати лінію АB з ухилом, що не перевищує 0,03.
Розв’язок:
Обчислюємо величину закладення на місцевості:
= 
м,
де h – висота перерізу рельєфу, м;
і=0,03 – заданий ухил.
Обчислюємо величину закладення на плані масштабу 1:2000: dгран=33,33/20=1,67 см.
Подальший принцип побудови описаний в питанні 3.
Завдання 4
Побудувати профіль за лінією АВ.
Розв’язок:
Принцип побудови описаний в питанні 4.
Контрольні запитання:
1. Абсолютні і відносні висоти точок.
2. Рельєф місцевості, горизонталь, висота перерізу рельєфу, закладення.
3. Крутизна схилу місцевості.
4. Побудова масштабу закладень, визначення ухилів за ним.
5. Побудова профілю за заданим напрямком.
Лабораторна робота 3. (2 год)
Вимірювання площ на топографічній карті полярним планіметром
3.1. Будова полярного планіметра.
3.2. Визначення ціни поділки планіметра.
3.3. Визначення площі ділянки на карті полярним планіметром.
Прилади і обладнання: топографічна карта, полярний планіметр, калькулятор, лінійка, олівець, гумка.
Для вирішення різних практичних задач треба вміти обчислювати площі земельних ділянок за результатами вимірів на місцевості і на планах (картах). Залежно від розміру та форми ділянок і бажаної точності, площі можна визначати трьома способами:
1) аналітичним;
2) графічним;
3) механічним,
які можна застосовувати в „чистому ” вигляді або у комбінації їх між собою.
Аналітичний спосіб. Обчислення площ за координатами вершин полігону застосовується коли полігон має складну форму багатокутника, границі якого прямолінійні і відомі координати його вершин (рис. 3.1).
Формула для визначення площі аналітичним способом має вигляд:
, (3.1)
і читається так: подвійна площа багатокутника дорівнює сумі послідовних добутків абсцис (іксів) на різницю ординат (ігреків) наступної та попередньої вершин по відношенню до абсциси.
Рис. 3.1. До визначення площі аналітичним і графічним способами
Або:
, (3.2)
і читається так: подвійна площа багатокутника дорівнює сумі послідовних добутків ординат на різницю абсцис попередньої і наступної вершин по відношенню до ординати.
При обчисленнях обов’язково враховуються знаки різниць координат. Результати обчислення площі за двома формулами мають бути однаковими. Цей спосіб є найбільш точним. Найзручніше обчислення виконувати у таблиці. Зразок відомості обчислення площі аналітичним способом наведено в табл. 3.1, в якій розглянутий приклад обчислення площі фігури зображеної на рис. 3.1.
Таблиця 3.1
Відомість визначення площі полігона за координатами його вершин
| № вершин | Координати вершин, м | Різниці координат, м | Добутки, м2 | |||
| x | y | yn+1-yn-1 | xn-1-xn+1 | xn(yn+1-yn-1) | yn(xn-1-xn+1) | |
| 5437.32 | 3093.51 | 44.89 | -68.29 | 244081.2948 | -211255.7979 | |
| 5436.54 | 3136.76 | 63.73 | 35.74 | 346470.6942 | 112107.8024 | |
| 5401.58 | 3157.24 | 22.38 | 82.57 | 120887.3604 | 260693.3068 | |
| 5353.97 | 3159.14 | -68.23 | 49.11 | -365301.3731 | 155145.3654 | |
| 5352.47 | 3089.01 | -67.27 | -14.28 | -360060.6569 | -44111.0628 | |
| 5368.25 | 3091.87 | 4.50 | -84.85 | 24157.1250 | -262345.1695 | |
| 2S (м2) =∑= | 10234.4444 | 10234.4444 | ||||
| S (м2) =∑/2= | 5117.2222 | 5117.2222 |
Графічний спосіб. Цим способом площі контурів обчислюють якщо границі прямолінійні і фігура ділянки має просту геометричну форму (трикутника, прямокутника, трапеції тощо). Визначивши за картою довжини необхідних елементів, за формулами відомими з геометрії та тригонометрії знаходять площі фігур. Якщо ділянка має складну форму, то її попередньо розбивають тонкими лініями на трикутники або інші прості геометричні фігури (рис. 3.1). Тоді площу ділянки S визначають як суму площ простих фігур: 
. Для контролю площу обчислюють вдруге, використовуючи виміри інших елементів у тих самих фігурах.
Точність визначення площ графічним способом залежить від точності вимірювання ліній на плані. Відомо, що відрізки прямої вимірюються на плані з точністю 0,1 мм незалежно від довжини ліній. Тому відносна помилка при вимірюванні коротких ліній буде більшою, ніж при вимірювання довгих ліній. Отже, фігури, на які поділяється полігон, повинні бути по можливості більшими, а план – у крупнішому масштабі. При цьому бажано в розрахунках у першу чергу використовувати лінії, довжина яких виміряна безпосередньо на місцевості. Для того, щоб уникнути грубих помилок і підвищити точність визначення площі, лінії вимірюють двічі з допустимою похибкою 1/200.
До графічного способу відносять також визначення площ палетками. Палетки використовуються для визначення площ криволінійних контурів.
Квадратна палетка – це сітка квадратів із стороною 0,1, 0,2 , 0,4 , 0,5 або 1 см, накреслена на прозорому матеріалі (технічній фотоплівці, органічному склі, восківці), або сітка паралельних ліній (лінійна палетка) чи точок (точкова палетка) накреслених на тому ж матеріалі через однакові відстані одна від одної.
Квадратну палетку накладають на контур ділянки і підраховують кількість повних квадратів, що вміщуються в контурі. Із неповних квадратів, розміщених на периферії контуру на око складають цілі квадрати і визначають загальну кількість квадратів. Потім обчислюють площу одного квадрату у квадратних метрах (або гектарах) за масштабом плану. Добуток площі одного квадрату на кількість їх у даному контурі дасть площу всієї ділянки.
Для обчислення площі ділянки за допомогою палетки з паралельними лініями треба знайти сумарну довжину середніх ліній у сантиметрах, за масштабом перевести її у метри і помножити на відстань між двома сусідніми паралельними лініями (h) також переведену у метри.
Механічний спосіб. При цьому способі використовують спеціальний прилад – планіметр. Це механічний прилад, який дає можливість шляхом обведення контуру фігури будь-якої форми визначити її площу.
3.1. Планіметри бувають лінійні і полюсні (полюсний планіметр створений Я.Амслером (Німеччина) в 1854 році). Полюсні планіметри бувають з однією або двома каретками. Однокаретковий полюсний планіметр складається з трьох основних частин – полюсного (1) і обвідного(2) важелів та каретки (3) (рис. 3.2). Полюсний важіль являє собою металевий брусок квадратного перерізу, на одному з кінців якого закріплений тягарець з голкою, який називається полюсом (4) планіметра. Голка призначена для запобігання ковзанню полюса на карті. На другому кінці полюсного важеля знаходиться стрижень із кулеподібною головкою (5), який встановлюється в гніздо каретки обвідного важеля. Головка і гніздо утворюють шарнір, за допомогою якого з’єднуються важелі планіметру. Цей вузол служить віссю обертання обвідного важеля. Обвідний важіль зроблений з білого металу і має вигляд такого ж бруска, як і полюсний важіль. На одному кінці обвідного важеля змонтовано обвідний пристрій у вигляді тупого шпиля (6) або обвідного скельця в металевій оправі з точкою у центрі. Шпиль або точку обвідного скельця переміщують на плані (карті) за допомогою ручки (7), обводячи контур ділянки, площу якої необхідно визначити. На іншому боці обвідного важеля розміщується каретка, яка пересувається по ньому. Від відстані між кареткою і обвідним шпилем залежить ціна поділки планіметра.
Рис. 3.2. Будова полюсного планіметра
В каретці міститься відліковий механізм (рис. 3.3). Він складається з циферблата А, лічильного колеса В та верньєра С. Лічильне колесо переміщуючись на плані (карті) показує кількість поділок, пройдених ним під час обводу контуру фігури. Кількість повних обертів лічильного колеса відраховують за циферблатом, а його частин – за допомогою верньєра. У двохкареткових планіметрів марки ПП-2К (планіметр полярний двохкаретковий) на обвідному важелі змонтовано дві каретки однакової будови. Ціна поділки кожної з них різна. Під час вимірювань можна користуватися або лише однією з кареток, або двома, що робиться для контролю вимірювань.
Відлік на лічильному механізмі складається із 4 цифр(рис. 3.3): першу цифру читають на циферблаті А проти нерухомого покажчика (індекса) D, причому знімають меншу з двох (на рис.3.3 – цифра 7). Другу цифру читають на барабані лічильного колеса В – це номер меншого підписаного штриха, найближчого до нуля верньєра (на рис.3.3 – цифра 3); третю цифру також відлічують на барабані лічильного колеса – це кількість не підписаних поділок від підписаного штриха до нуля верньєра лічильного механізму (цифра 1); четверту цифру читають на верньєрі С відлікового механізму – це номер поділки верньєра, рахуючи від нуля, яка точно співпадає з будь-якою поділкою на барабані лічильного колеса (цифра 5). Отже, остаточний відлік становить 7315.
Рис. 3.3. Знімання відліку за планіметром
Перевірки планіметра:
1) лічильне колесо повинно обертатися вільно без коливань;
2) відстань між барабаном лічильного колеса і дугою верньєра повинна бути мінімальною, не більше товщини листа паперу для записів;
3) площина лічильного колеса повинна бути перпендикулярною до осі обвідного важеля.
Перевірка виконується вимірюванням площі ділянки при двох положеннях полюса. Умова виконана, якщо одержані результати не перевищують відносної помилки 1/250. Якщо похибка більша, то треба виконувати вимірювання при двох положеннях полюсу.
При користуванні приладом необхідно керуватись наступними практичними рекомендаціями, виконання яких сприяє успішному вимірюванню площі ділянок:
1) перед початком роботи виконують перевірки планіметра та визначають його ціну поділки;
2) папір, на якому накреслено план, ретельно розправляють і прикріплюють до креслярської дошки, яку кладуть на горизонтальну поверхню стола;
3) положення полюса вибирають поза контуром (при обведенні великого контуру можливе розташування полюсу всередині контуру) з таким розрахунком, щоб при обведенні фігури кут між важелями планіметра був не меншим 30° і не більшим 150°, а лічильний ролик відлікового механізму не сходив з плану на дошку. Для цього треба виконати попереднє швидке обведення контуру ділянки. Якщо цього досягти не вдається, то контур розбивають на частини, площі кожної з яких вимірюють окремо;
4) обведення починають в тому місці контуру, де важелі утворюють між собою кут, близький до 90°;
5) обвідний пристрій ведуть за контуром плавним і рівномірним рухом за годинниковою стрілкою. Різких поштовхів і зупинок слід уникати;
6) для контролю результату кожний контур обводять не менше двох разів і розходження у різницях відліків не повинні перевищувати 3-4 поділки верньєра. В протилежному випадку обведення повторюють і бажано при іншому положенні полюса;
7) для вимірювання малих площ ціну поділки зменшують у два-три рази шляхом відповідного зменшення довжини обвідного важеля.
3.2. Ціна поділки с планіметра – це кількість гектарів (м2), яка відповідає одній поділці планіметра.
Визначення ціни поділки планіметра проводиться перед початком роботи. На плані будують квадрат із сторонами 10 см та обчислюють його площу на місцевості у квадратних метрах чи гектарах за масштабом плану. Встановлюють планіметр так, щоб його полюс знаходився за межею обраного квадрата, а полюсний та обвідний важелі утворювали приблизно прямий кут. Виконують швидке обведення контуру для контролю того, що кути між важелями знаходяться в межах від 30° до 150°, та лічильне колесо не сходить з плану. Обвідний шпиль (або центр скельця) ставлять на одну з вершин квадрата, знімають відлік u1 (початковий), обводять контур квадрата і дійшовши до початкової точки знімають другий відлік u2 (кінцевий). Знаходять різницю відліків за формулою:
. (3.3)
Якщо при обведенні контуру за годинниковою стрілкою другий відлік виявляється меншим за перший, то до нього слід додати 10000. Для більш точного визначення ціни поділки планіметра обводять квадрат двічі. За остаточне значення різниці Δu приймають середнє значення:
. (3.4)
Ціну поділки планіметра у гектарах (м2) визначають за формулою:
, (3.5)
де S0 – площа квадрату , га (м2).
3.3. Для визначення площі будь-якої фігури полюс полярного важіля розміщують на плані поблизу вимірюваної ділянки і виконують швидке обведення контуру (дотримуючись вимог описаних в питанні 3.1). Після цього обвідний пристрій (шпиль або центр обвідного скельця) встановлюють на будь-яку позначену олівцем точку контуру і на відліковому механізмі знімають перший відлік u1 (до обведення). Потім обвідним пристроєм обводять контур ділянки до повернення у початкову точку і знімають другий відлік u2 (після обведення). Різниця відліків (u2-u1) дасть площу обведеної фігури у поділках планіметра. Для контролю обводять ділянку двічі. За остаточне значення різниці Δu приймають середнє. Площа фігури S, у гектарах (м2), буде визначатись за формулою:
, (3.6)
де с – ціна поліки планіметра.
Приклад визначення ціни поділки планіметра та площі ділянки на плані масштабу 1:2000 наведений в табл. 3.2.
Приклади типових завдань:
Завдання 1
Обчислити ціну поділки полюсного планіметра.
Розв’язок:
На плані масштабу 1:2000 будуємо квадрат із стороною 10 см сполучивши вершини квадрата кілометрової сітки. Встановлюємо шпиль (або центр обвідного скельця) планіметра на одну з вершин квадрата і виконуємо швидке обведення контуру. Повернувшись у початкову точку знімаємо початковий відлік u1=3054 (записуємо його в відомість обчислення площ планіметром (табл. 3.2) біля (1)), обводимо контур квадрата і дійшовши до початкової точки, знімаємо другий відлік u2=4043 (2). Після цього обводимо квадрат ще раз для контролю і знімаємо відлік u3=5030 (3).
Обчислюємо різницю відліків:
Δu1=989 (4)=(2)-(1);
Δu2=987 (5)=(3)-(2).
Знаходимо середнє з різниць відліків:
Δuсер=988 
Знаходимо площу обведеного квадрата на місцевості у масштабі плану 200×200=40000 м2 – (7).
Знаходимо ціну поділки планіметра с=40,5 м2 (8) за формулою (3.5).
Завдання 2
Визначити площу ділянки механічним способом.
Розв’язок:
Встановлюємо шпиль (або центр обвідного скельця) планіметра на будь-яку позначену олівцем точку контуру та виконуємо швидке обведення. Після повернення у початкову точку знімаємо початковий відлік u1=8081 (9), обводимо контур і дійшовши до початкової точки знімаємо другий відлік u2=9138 (10). Після цього обводимо контур ще раз для контролю і знімаємо відлік u3=10193 (11). В даному випадку циферблат планіметра пройшов повний оберт, тому до останнього відліка ми додали 10000.
Обчислюємо різницю відліків (12), (13) та знаходимо середнє з різниць відліків (14).
Знаходимо площу контуру (15) за формулою (3.6).
Таблиця 3.2
Відомість обчислення площ планіметром
Планіметр №2457
| № контуру | Назва угіддя | Відліки u1 u2 u3 | Різниця відліків Δu1 Δu2 | Середнє з різниць відліків Δuсер | Площа, м2 | Схема |
| Визначення ціни поділки планіметра с= 40,5 (8) м2 | ||||||
| квадрат кіло-метрової сітки | 3054 (1) 4043 (2) 5030 (3) | 989 (4) 987 (5) | 988 (6) | 40000,0 (7) |  
| |
| Обчислення площ ділянок | ||||||
| озеро Біле | 8081 (9) 9138 (10) 10193 (11) | 1057 (12) 1055 (13) | 1056(14) | 42768,0 (15) | 
|
Позначеннями (1)-(15) показана послідовність запису відліків та обчислень.
Контрольні запитання:
1. Аналітичний спосіб визначення площі ділянки на карті.
2. Графічний спосіб визначення площі ділянки на карті.
3. Механічний спосіб визначення площі ділянки на карті. Будова полярного планіметра.
4. Знімання відліків за полярним планіметром.
5. Визначення ціни поділки планіметра с.
6. Визначення площі ділянки планіметром.
Лабораторна робота 4. (2 год)