Условная вер-ть и теорема умножения вер-ти
Понятие случайного события.
Опр. Испытанием называется фиксированный тип опыта. Пр.: Наудачу извлекается карта из колод. Опр. Случайным событием называется выделенный рез-т некоторого испытания (в конкретном испытании событие может наступать, а может и не наступать).Пр.: а) Извлечена карта красной масти; б) извлечён туз; в) извлечена 7-ка крестей. Пусть, например, извлекли даму «бубен» à а) наступила б)
нет в) нет.
Статистическое определение вер-ти.
Пусть проведено N-испытаний, в которых событие А наступило Na раз, тогда отношение (Na/N) назыв. Частностью наступления события А в Nиспытаниях. Опр.: Пусть условия проведения некоторого испытания можно с точностью произвести
неограниченное число раз, тогда вер-тью P(A) наступления события А в одном испытании назыв. Такое число, около которого группируются значения частности (Na/N) при неограниченном увеличении числа испытаний N. ,т.е. P(A)=lim(Na/N). (На практике полагают P(A)»(Na/N) при достаточно большом N) Следствие:
0£Na£N; 0£(Na/N)£1; lim0£lim(Na/N)£lim1 ; 0£P(A)£1.
Классификация случайных событий.
1)Два события называются равными, если одно из них наступает т.и т.т.к. наступает другое. 2)Опр.: Два события назыв. равновозможными или вер-ти их наступления равны в смысле статистического наступления симметричных ситуаций.
3)Опр.: Событие назыв. достоверным, (Е) если оно наступает в каждом из испытаний. Ne=N=>P(E)=lim(Ne/N)=1; P(E)=14)
Опр.: Событие назыв. невозможным, если оно не наступает ни в одном из
испытаний. Æ-невозможность события. Невозможность события определено однозначно для фиксированного типа испытания. Пр.: исп. брос. кости Æ={7}. 5)
Опр.:Два события назыв. не совместимыми, если наступление одного из них исключает наступление другого. 6) События А1, А2,…Ак – назыв. единственно возможными, если в рез-те испытания хотя бы одно из них наступает. Пр.: Исп –бросание монета. А)-орёл В)-решка. Событие А1;А2…Ак – образуют полную сист. если они попарноне совместимы и единственно возможны. Опр.: Два события образующие полную систему назыв. парой взаимно противоположных событий. (`А )-противоположное событие. Пр.: Извлечение карты. А- красная масть; А- черная масть.
Операция на события.
I.Операция сложения событий. Опр.: Суммой А+В событий А и В назыв. такое событие, которое считается наступившим, если наступило или событие А или В или вместе. Пр.: Извлечение карты: А- извлечен туз; В- извлечены бубны. а)Пусть рез-т: извлечена 7-ка бубен. А+В –наступило. б)Пусть рез-т: извлечен король крестей =>
А+В –не наступило.А+`А = Е II.Опр. Произведением событий А и В назыв. такое событие А и В, кот. Считается наступившим, если события А и В наступили одновременно. Пр. Бросание кости. А={1,2,3} В={3,4,} А×В={3}. Замечание: соб. А и В не совместимы ó А×В=Æ.
Классическое определение вер-ти.
Опр. Пусть некоторое испытание имеет “n” исходов, причем эти исходы равновозможны единственно возможны и попарно не совместимы. Пусть наступлению событию А благоприятствует «m» исходов из «n», тогда вер-сть Р(А) наступления события А определяется по формуле: P(A)=(m/n). Пр. В коробке 6 белых шаров и 8 красных. Извлекается 1 шар. Вер-ть того что он белый ? Реш.: n=6+8=14; m=6; P(A)=6/14=3/7.
Основные теоремы теории вероятности.
I.Теоремы сложения вероятностей. Общая формула: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).; В частности: Пусть А и В не совместимы, тогда А×В=Æ ; P(AB)=P(Æ)=0 ,т.е. имеем:
Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий = сумме их вероятностей., т.е. P(A+B)=P(A)+P(B). 1)Следствие: Пусть события А1,А2,…Ак образуют полную систему, тогда Р(А1)+…+Р(Ак)=1. Док-во: В частности события А1,А2,…Ак –единственно возможны (т.к.)полная сист.), т.е. А1+…+Аn=Е => Р(А1+…+Ак)=Р(Е). По теор. слож. вер-тей: Р(А1)+…+Р(Ак)=1.
II.Следствие: Если А и `А –пара противоположных событий, то Р(А)+Р(`А )=1.
Условная вер-ть и теорема умножения вер-ти.
Опр.: Условной вер-тью Рв(А) назыв. вер-ть наступлений событий А предположений наступлений событий В. ; Пр.: Испыт. извлечение карты. А-извлечена картинка, В-извлечена 7-ка. ; Рв(А)=0/4=0 ; Р`в (А)=(16/36-4)=0,5
Опр.: Два события назыв. независимыми, если вер-ть наступления одного из них не зависит от того считается ли другое событие наступившим или нет. Т.е. А и В независ. ó Рв(А)==Р`в(А) , Ра(В)=Р`а(В). ; Можно доказать что А и В независимы ó Р(А)=Рв(А). В примере выше А и В зависимы т.к. Рв(А)¹Р`в(А).