Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления

а). По критерию Найквиста

 

Так как годограф разомкнутой импульсной системы не охватывает точку (-1; j0), то замкнутая система устойчива.

- коэффициент усиления разомкнутой САУ

- модуль комплексного коэффициента усиления при аргументе

 

 

Полученный результат говорит о том, что в реальных условиях система будет устойчива при любом значении коэффициента усиления.

 

б). По критерию Гурвица

 

Запишем выражение для передаточной функции замкнутой ИСАУ

Введем обозначение и запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

Произведём подстановку и запишем характеристическое уравнение в виде

Подставив известные значения в последнее уравнение, получим:

Так как характеристическое уравнение второго порядка и имеет положительные коэффициенты, исследуемая система является устойчивой в замкнутом состоянии.

 

Для определения запишем передаточную функцию замкнутой ИСАУ в следующем виде:

 

После подстановки и замены получим следующее характеристическое уравнение:

 

Так как для САУ 2-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, то из полученного уравнения

 

с). По корням характеристического уравнения замкнутой системы

 

Характеристическое уравнение:

1, значит замкнутая САУ является устойчивой.

 

 

Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ

 

Запишем передаточную функцию замкнутой ИСАУ в виде

 

 

Перейдём от изображения к оригиналу

 

 

Переходной процесс построим по следующему разностному уравнению:

 

 

В итоге получаем следующий вид процесса:

 

 

Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ.

 

Используем следующие формулы для расчёта ошибок:

а). Статическая ошибка

 

На входе системы X(t)=1(t), тогда

 

 

 

б). Кинетическая ошибка

 

На входе системы X(t)=t×1(t), тогда

 

 

 

 

Таблица 2.

Значения переходной функции.

Номер шага Момент времени Значение

0,00E+00
0,01 9,90E-05
0,15 1,16E-02
0,3 4,36E-02
0,45 9,38E-02
0,6 1,60E-01
0,75 2,39E-01
0,9 3,29E-01
1,05 4,27E-01
1,2 5,31E-01
1,35 6,37E-01
1,5 7,43E-01
1,65 8,47E-01
1,8 9,47E-01
1,95 1,04E+00
2,1 1,13E+00
2,25 1,20E+00
2,4 1,27E+00
2,55 1,33E+00
2,7 1,37E+00
2,85 1,41E+00
1,43E+00
3,15 1,44E+00
3,3 1,45E+00
3,45 1,44E+00
3,6 1,42E+00
3,75 1,40E+00
3,9 1,36E+00
4,05 1,33E+00
4,2 1,29E+00
4,35 1,24E+00
4,5 1,20E+00
4,65 1,15E+00
4,8 1,10E+00
4,95 1,05E+00
5,1 1,01E+00
5,25 9,70E-01
5,4 9,33E-01
5,55 9,00E-01
5,7 8,71E-01
5,85 8,47E-01
8,28E-01
6,15 8,14E-01
6,3 8,06E-01
6,45 8,02E-01
6,6 8,02E-01
6,75 8,07E-01
6,9 8,15E-01
7,05 8,27E-01
7,2 8,42E-01
7,35 8,59E-01
7,5 8,78E-01
7,65 8,98E-01
7,8 9,19E-01
7,95 9,40E-01
8,1 9,61E-01
8,25 9,81E-01
8,4 1,00E+00
8,55 1,02E+00
8,7 1,03E+00
8,85 1,05E+00
1,06E+00
9,15 1,07E+00
9,3 1,08E+00
9,45 1,08E+00
9,6 1,09E+00
9,75 1,09E+00
9,9 1,09E+00
10,05 1,09E+00
10,2 1,08E+00
10,35 1,08E+00
10,5 1,07E+00
10,65 1,06E+00
10,8 1,05E+00
10,95 1,04E+00
11,1 1,03E+00
11,25 1,02E+00
11,4 1,01E+00
11,55 1,01E+00
11,7 9,97E-01
11,85 9,90E-01
12,3 9,71E-01
12,45 9,67E-01
12,6 9,64E-01
12,75 9,62E-01
12,9 9,61E-01
13,05 9,61E-01
13,2 9,61E-01
13,35 9,63E-01
13,5 9,65E-01
13,65 9,67E-01
13,8 9,71E-01
13,95 9,74E-01
14,1 9,78E-01
14,25 9,82E-01
14,4 9,86E-01
14,55 9,91E-01
14,7 9,95E-01
14,85 9,99E-01
1,00E+00
15,15 1,01E+00
15,3 1,01E+00
15,45 1,01E+00
15,6 1,01E+00
15,75 1,02E+00
15,9 1,02E+00
16,05 1,02E+00
16,2 1,02E+00
16,35 1,02E+00
16,5 1,02E+00
16,65 1,02E+00
16,8 1,02E+00
16,95 1,01E+00
17,1 1,01E+00
17,25 1,01E+00
17,4 1,01E+00
17,55 1,01E+00
17,7 1,01E+00
17,85 1,00E+00
1,00E+00
18,15 1,00E+00
18,3 9,99E-01
18,45 9,97E-01
18,6 9,96E-01
18,75 9,95E-01
18,9 9,94E-01
19,05 9,93E-01
19,2 9,93E-01
19,35 9,92E-01
19,5 9,92E-01
19,65 9,92E-01
19,8 9,92E-01
19,95 9,93E-01
20,1 9,93E-01
20,25 9,94E-01
20,4 9,95E-01
20,55 9,95E-01
20,7 9,96E-01
20,85 9,97E-01
9,98E-01
21,15 9,99E-01
21,3 9,99E-01
21,45 1,00E+00
21,6 1,00E+00
21,75 1,00E+00
21,9 1,00E+00
22,05 1,00E+00
22,2 1,00E+00
22,35 1,00E+00
22,5 1,00E+00
22,65 1,00E+00
22,8 1,00E+00
22,95 1,00E+00
23,1 1,00E+00
23,25 1,00E+00
23,4 1,00E+00
23,55 1,00E+00
23,7 1,00E+00
23,85 1,00E+00
1,00E+00
24,15 1,00E+00
24,3 1,00E+00
24,45 1,00E+00
24,6 1,00E+00
24,75 1,00E+00
24,9 1,00E+00

 



d> 24,9 1,00E+00