Решение системы линейных уравнений
Для решения систем линейных уравнений используется внутренняя функция lsolve.
Пусть дана система уравнений:
Для ее решения следует определить матрицу коэффициентов, которая не должна быть вырожденной:
а также указать вектор свободных коэффициентов:
Решение:
Хорошей альтернативой решению систем в матричной форме является так называемый solve block (Блок решения). Он удобен тем, что при его использовании уравнения записываются не в матричной, а в обычной форме, а также тем, что позволяет решать нелинейные уравнения и вводить ограничительные условия для определяемого решения. Блок решения применяется как для нахождения численного решения, так и для отыскания решения в символьном виде.
Синтаксис Блока решения:
Уравнения
Ограничительные условия
– возвращает значение одной
или ряда переменных для точного решения
– переменные, которые надо найти.
Последовательность действий при численном решении:
Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных.
Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом и заканчивающийся ключевым словом 
Если после слова ввести знак равенства [=], Mathcad выдаст численное решение.
При символьном решении не надо вводить начальные значения, а после ключевого слова 
вместо знака равенства следует ввести символьный знак равенства (при помощи комбинации [Ctrl+.] или соответствующей пиктограммы панели Evaluation).
Матрицы
Панель операторов с матрицами находится на панели Math.(рис. 4)
Рис.4. Панель операторов с матрицами.
кнопками панели закреплены следующие функции:
– определение размеров матрицы;
– ввод нижнего индекса;
– вычисление обратной матрицы;
– вычисление определителя матрицы: 
; вычисление длины вектора 
;
— поэлементные операции с матрицами: если 
, то 
;
– определение столбца матрицы: 
– j -й столбец матрицы M;
– транспонирование матрицы: 
– вычисление скалярного произведения векторов: 
;
— вычисление векторного произведения векторов:
– вычисление суммы компонент вектора: 
;
– определение диапазона изменения переменной;
– визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.
Для решения задач линейной алгебры в MathCAD встроены матричные функции. Их можно разделить на две основные группы:
- функции определения (генерации) матриц и операции с блоками матриц;
- функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.
Из каждой группы приведем по несколько, наиболее часто используемых функций.
Первая группа:
1. matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности 
, элемент которой, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце равен значению 
функции 
;
2. diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;
3. identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;
4. augment(A, B)–объединяет матрицы A и B; матрица B располагается справа от матрицы A, при этом матрицы должны иметь одинаковое число строк;
5. stack(A, B) – объединяет матрицы A и B, матрица В располагается внизу под матрицей А, при этом матрицы должны иметь одинаковое число столбцов;
6. submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, причем ir £ jr, ic £ jc.
На рисунке 5 изображены некоторые из приведенных выше функций в действии.
Вторая группа:
1. rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы: перестановка строк, умножение строки на число, сложение строк);
2. rank(A) – вычисляет ранг матрицы А (количество линейно-независимых строк или это число ненулевых строк ступенчатой матрицы rref(A));
Рис. 5. Операции с матрицами.
3. eigenvals(A)– вычисление собственных значений квадратной матрицы А;
4. eigenvecs (A)– вычисление собственных векторов квадратной матрицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных с помощью функции eigenvals(A);
5. eigenvec(A,e) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению e;
6. normi(A)– max – норма, или ¥ - норма (infinity norm). в линейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику;
7. lsolve (A,b)– решение системы линейных алгебраических уравнений вида 
.
Функции второй группы реализуют, как правило, довольно сложные вычислительные алгоритмы. Приведем примеры на использование функций rref и функций для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы.
На рисунке 6 изображены некоторые из приведенных выше функций в действии.
Рис. 6. Операции с матрицами.
В самом простом виде задача на собственные значения матрицы формулируется следующим образом: требуется найти такие значения 
, чтобы матричное уравнение 
имело решение. В таком случае число называют собственным числом матрицы А, а n – компонентный вектор Х, приводящий уравнение с заданным в тождество – собственным вектором. В вышеприведенном примере собственные вектора матрицы А получены в матрице MS. Проверка проведена для первого столбца матрицы MS и соответствующего ему собственного числа 