РОЗДІЛ 4. Аналіз стійкості заданої системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора, при якому система знаходиться на межі стійкості
Зміст
Вступ. 4
Розділ 1. Опис, призначення і принцип дії елементів системи автоматичного регулювання заданої у вигляді принципової схеми. Аналіз роботи системи у цілому при зміні задаючої або збурюючої величини. ……. 5
Розділ 2. Запис передаточних функцій на основі диференціальних рівнянь елементів системи…………………………………………………………………….. 8
Розділ 3. Структурна схема досліджуваної системи. Розрахунок передаточних функцій замкнутої системи за каналами задаючої і збурюючої дії та запис відповідних їм рівнянням динаміки і статики……………………………………………………………………... …11
Розділ 4. Аналіз стійкості заданої системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора, при якому система знаходиться на межі стійкості………………………………………………………. 15
Розділ 5. Побудова годографа амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи і визначення запасу стійкості 17
Розділ 6. Розрахунок та побудова перехідної характеристики cистеми автоматичного регулювання за каналом задаючої дії при нульових початкових умовах....... 21
Розділ 7. Перевірка результатів розрахунку перехідної характеристики за каналом задаючої дії шляхом моделювання процесів за допомогою комп’ютерної програми SIAM або Simulink. 26
Розділ 8. Визначення прямих показників якості регулювання та визначення похибки аналітичного та комп’ютерного методів побудови за побудовою перехідної характеристики системи……......................................................................... ……28
Розділ 9. Побудова перехідної характеристики системи за каналом збурюючої дії шляхом моделювання процесів на ЕОМ….................................................... …31
Розділ ................................................................................................................ 10
Розрахунок інтегральної квадратичної оцінки якості системи та визначення оптимального коефіцієнта підсилення регулятора. 33
Розділ 11. Коригування отриманої системи……………………………… …….40
Висновок. 47
Список використаної літератури. 48
Вступ
Впровадження автоматизованих систем управління технологічними процесами набуває особливого значення у зв'язку із зростанням вимог до швидкості обчислення, переробки і видачі інформації. Тому розробка і дослідження структур і режимів функціонування автоматизованих систем управління технологічними процесами на основі мікроЕОМ є актуальним завданням. Використання мікроЕОМ дозволяє на порядок знизити витрати у зв'язку з простоями технологічного обладнання, забезпечує підвищення ефективності.
Метою даної роботи є вході аналізу системи автоматичного регулювання досягти того, що скорегована система буде задовольняти за своїми якісними показниками та буде придатною до експлуатації.
У даному курсовому проекті пропонується проаналізувати систему автоматичного регулювання температури печі. На основі проведення аналізу складемо для кожного структурного елемента керуванням печі диференційні рівняння, які б описували їх роботу, побудуємо структурну схему досліджувальної системи. Згідно диференційних рівнянь елементів печі розрахуємо їх передаточні функції для замкненої системи за каналами задаючої і збурюючої дії, запишемо відповідні їм рівняння динаміки та статики. За вихідними даними користуючись програмним пакетом MatLab побудуємо годограф амплітудно-частотної характеристики розімкнутої системи, визначимо запаси стійкості за амплітудою і фазою; використовуючи передаточні функції елементів управління роботою печі складемо в програмі Simulink електронну модель системи автоматичного регулювання та побудуємо перехідну характеристику САУ за якою визначимо прямі показники якості системи. При отриманні незадовільних параметрів системи проведемо її коригування використовуючи логарифмічні частотні характеристики.
РОЗДІЛ 1. Опис, призначення і принцип дії елементів системи автоматичного регулювання заданої у вигляді принципової схеми. Аналіз роботи системи у цілому при зміні задаючої або збурюючої величини.
Дана схема автоматичного регулювання температури в печі є системою керування за відхиленням, тобто регулювання відбувається на основі порівняння інформації про мету регулювання, а також стан об’єкта регулювання. Мета регулювання означає підтримання даної температури в печі, при її зміні і при збурені.
Схема працює наступним чином:
Паливо подається по трубопроводу до клапану, який контролює передачу палива, після клапана паливо подається в піч (об’єкт керування ), в печі відбувається його спалення. В об’єкті керування встановлюється терморезистор, що являється одиним із плечей допоміжного моста і живиться напругою U0. Цей міст при заданій температурі за допомогою змінного опору R1 є зрівноваженим. При зміні температури в ту чи іншу сторону виникає розбаланс моста, після чого створюється вихідна напруга, яка подається на підсилювач, а далі на обмотки двигуна де створюється обертовий момент ротора. Оберти подаються через ротор на редуктор і через нього до клапана, який при відповідних значення закривається, або відкривається, до встановлення рівноважної напруги.
Функціональна схема буде мати наступний вигляд:
Рис 1.1. Функціональна схема автоматичного регулювання температури в печі.
М – міст,
П - підсилювач,
Д – двигун,
Р – редуктор,
К – клапан,
ЧЕ – чутливий елемент,
ОР – об’єкт регулювання,
- задане значення температурив печі,
–дійсне значення температури в печі,
Um – вихідна напруга електричного моста,
Uk– напруга керування двигуна,
μ – переміщення клапана,
- обертовий момент двигуна і редуктора відповідно,
f – збурення;
Дана система автоматичного регулювання є звичайною, аналоговою, лінійною, замкнутою стабілізуючою системою автоматичного регулювання з повною початковою інформацією.
Залежно від положення клапана він регулює подачу палива в об’єкт регулювання. Зміна положення цього клапана проводиться двигуном через редуктор. Отже, вхідною величною є переміщення клапана, а вихідною - витрата палива.
Об’єкт регулювання представляє собою піч, у якій подане паливо спалюється й утворюється пропорційна масі палива кількість теплоти, що спричиняє підвищення температури в печі. Отримана теплота розсіюється у навколишнє середовище та йде на зміну структури та/або агрегатного стану речовин у печі. Усталений режим об’єкта регулювання характеризується рівністю кількості тепла, що утворюється в печі внаслідок згоряння палива і розсіюваної у навколишнє середовище. Вхідною величиною є витрата палива, а вихідною - температура в печі.
Електричний міст, одним з опорів якого є металевий терморезистор (термометр опору), який змінює свій опір залежно від температури Rt=R0 (1+αt). За допомогою зміни опору R1 задають бажану температуру в печі. Якщо температура в печі (вхідна величина) рівна заданій 
, то опори терморезистора і потенціометра-задавача рівні, міст збалансований (напруга на вимірювальній діагоналі моста рівна нулю). Зміна температури призводить до зміни опору терморезистора, а отже розбалансу моста і появі напруги на вимірювальній діагоналі 
- вихідної величини, полярність якої залежить від знаку різниці (Rt-R1), який визначає напрямок переміщення клапана.
Підсилювач збільшує вхідну величину (напругу на діагоналі моста 
) в kп разів, формуючи вихідний сигнал 
.
Напруга Uk, що подається на якір двигуна постійного струму з незалежним збудженням Uзб, приводить в обертання вал, з’єднаний через редуктор, який зменшує кутову швидкість та збільшує обертовий момент, з клапаном. Залежно від полярності напруги Uk вал двигуна переміщуватиме клапан в одну чи іншу сторону, збільшуючи або зменшуючи подачу палива. Таким чином вхідною величною системи "двигун-редуктор" є напруга з виходу підсилювача 
, а вихідною - переміщення клапана.
Зміна задаючої величини R1 призводить до появи напруги , яка підсилюється підсилювачем до напруги 
, що подається на двигун, який через редуктор переміщує клапан так, щоб витрата палива змінювалась в таку сторону, щоб компенсувати зміну температури в печі.
Збурюючою величиною може бути зміна температури навколишнього середовища, теплоємність оточуючого повітря (а значить атмосферного тиску і вологості) та ін. Отже, збурення призводить до порушення теплової рівноваги й зміні температури в печі. Ця зміна температури приводить до зміни опору терморезистора й розбалансу мосту, який усувається шляхом, аналогічним до випадку зміни задаючої величини.
РОЗДІЛ 2. Запис передаточних функцій на основі диференціальних рівнянь елементів системи.
У випадку, коли задано диференціальне рівняння елемента системи, його передаточна функція визначається на основі перетворення Лапласа. Для цього вихідне диференціальне рівняння записують у операторній формі та знаходять відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах. Якщо елемент системи має дві вхідні величини необхідно визначати дві передаточні функції за кожним із входів. [5, c.6]
Нехай диференціальне рівняння об’єкта керування має вигляд
, (2.1)
де 
- вихідна величина; 
i 
- регулююча і збурююча дії. Знак мінус показує, що зі зростанням навантаження на об’єкт, регульована величина зменшується.
Покладемо, що вихідна величина має дві складові
. (2.2)
Тоді рівняння (1) розбивається на два рівняння. В операторній формі вони матимуть вигляд:
(2.3)
(2.4)
де 
- зображення відповідних величин за Лапласом.
Рівнянням (2.3) і (2.4) відповідають передаточні функції об’єкта за каналом регулюючої величини:
(2.5)
і за каналом збурення:
. (2.6)
Структурна схема об’єкта матиме вигляд:
Рис. 2.1. Структурна схема об’єкта керування.
Рівняння електричного моста має вигляд:
(2.7)
де 
- вихідна величина, напруга на вимірювальній діагоналі моста;
- вхідна величина, відхилення температури в печі від заданого значення.
Тоді рівняння (2.7) в операторній формі матиме вигляд:
(2.8)
Передаточна функція моста:
. (2.9)
Рівняння, що описує роботу підсилювача, має вигляд:
, (2.10)
де 
- вихідна величина,
- вхідна величина,
kп - коефіцієнт підсилення.
В операторній формі рівняння (2.10) запишеться:
(2.11)
Передаточна функція підсилювача:
(2.12)
Передаточна функція двигуна:
;
Wдв(p)= 
- передаточна функція двигуна;
Передаточна функція редуктора:
Wдв(p)= 
- передаточна функція редуктора;
РОЗДІЛ 3. Структурна схема досліджуваної системи. Розрахунок передаточних функцій замкнутої системи за каналами задаючої і збурюючої дії та запис відповідних їм рівнянням динаміки і статики.
Структурну схему системи автоматичного керування будуємо на основі функціональної схеми, отриманої в розділі 1. При цьому функціональні елементи замінюємо структурними ланками, з передаточними функціями отриманих в розділі 2.
Рис. 3.1. Структурна схема системи автоматичного регулювання температури в печі.
1 – передаточна функція моста;
2 – передаточна функція підсилювача;
3 – передаточна функція двигуна;
4 – передаточна функція редуктора;
5 – передаточна функція за каналом завдання;
6 – передаточна функція за каналом збурення.
Для знаходження передаточних функцій системи за каналами задаючої і збурюючої дії будемо користуватися правилом еквівалентних перетворень структурних схем.
Спочатку знайдемо передаточну функцію розімкненої системи:
- передаточна функція системи за каналом задаючої величини;
- передаточна функція системи за каналом збурюючої дії;
W(p)= 
(p) 
(p)Wдв(p) 
Wo(p).
Зробимо підстановку даних за варіантом у формулу передаточної функції розімкнутої системи:
;
Знайдемо передаточну функцію замкнутої системи за каналом задаючої величини:
Отже, передаточна функція замкнутої системи за каналом задаючої величини має вигляд:
.
Щоб отримати диференційне рівняння руху системи за каналом задаючої дії потрібно зробити такі перетворення:
‘
;
= 
тобто
, де
(t) = 
(p) – зображення вихідної величини, 
(t) = 
(p) – зображення вхідної величини.
Диференційне рівняння руху системи за каналом задаючої дії буде мати вигляд:
Рівняння статики буде мати наступний вигляд:
Розрахуємо передаточну функцію за каналом збурюючої дії:
Щоб отримати диференційне рівняння руху системи за каналом збурюючої дії потрібно зробити наступні перетворення:
,
Wf(p)= 
;
тобто
.
θ(t) 
(p) - зображення вихідної величини, f(t)=f(p) - зображення вхідної величини.
Зробивши підстановку,отримаємо: 
Рівняння статики запишеться: 
Висновок:в даному розділі ми склали структурну схему системи автоматичного керування на основі її функціональної схеми, розрахували передаточні функції замкнутої системи за каналами задаючої і збурюючої дії та записали відповідні їм рівняння динаміки і статики, використавши обернене перетворення Лапласа.
РОЗДІЛ 4. Аналіз стійкості заданої системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора, при якому система знаходиться на межі стійкості.
Для визначення стійкості можна використати критерії стійкості Гурвіца.
Запишемо передаточну функцію замкнутої системи за каналом задаючої дії:
Характеристичне рівняння системи:
a3p3+ a2 p2+ a1p+a0=0
Визначник згідно критерію Гурвіца:
= 
Мінори цього визначника будуть мати наступний вигляд :
М1=| 
| = 16,2532
М2= 
= а2а1-аоа3= 
М3= a0 М2=569,575∙511,1699=291149,5958
Застосувавши критерій Гурвіца, зробимо висновок про стійкість системи, а саме, оскільки а3>0 i M1>0, М2>0, М3>0, дана система автоматичного регулювання є стійкою.
Критичне значення параметру (коефіцієнта розбиття передачі ккр чи постійного часу Ткр) при цьому система знаходиться на межі області стійкості можна визначити за критеріями Гурвіца.
Запишемо характеристичне рівняння системи :
Запишемо визначник Гурвіца:
Другий мінор цього визначника матиме наступний вигляд:
Прирівняємо його до нуля:
Розв’яжемо рівняння відносно Кп
Отже, при 
система перебуватиме на межі стійкості.
Висновок: в даному розділі ми на основі критерію Гурвіца провели аналіз заданої системи на стійкість, визначили критичне значення коефіцієнта передачі регулятора , при якому система знаходиться на межі стійкості та знайшли область стійкостісистеми.