Тема 4.Частотные характеристики систем САУ
Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию систем на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.
К частотным характеристикам относятся:
АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ – фазовая частотная характеристика;
ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ;
ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ.
АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W(jω), которая получается путем замены в передаточной функции W(p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ представляет собой вектор на комплексной плоскости в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:
W(jω) = Н(ω)∙еjφ(ω) = N(ω) + jM(ω). (1)
Здесь: Н(ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора АФЧХ от круговой частоты;
φ(ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора АФЧХ от круговой частоты;
N(ω) = Н(ω)∙cosφ(ω) – проекция вектора АФЧХ на действительную ось комплексной плоскости;
M(ω) = Н(ω)∙sinφ(ω) – проекция вектора АФЧХ на мнимую ось комплексной плоскости;
При изменении частоты ω от нуля до бесконечности АФЧХ представляет собой кривую в комплексной плоскости, называемую годографом.
Рассмотрим частотные характеристики отдельных типовых звеньев.
Апериодическоезвено.
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/(1 + jωT) = 
= 
.
Н(ω) = 
; φ(ω) = – arctg(ωT);
N(ω) = K/[1 + (ω∙T)2]; M(ω) = – K∙ ω∙T/[1 + (ω∙T)2]. (2)
φ(0) = 0o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;
φ(ω = 1/T) = – 45o; Н(T) = K/√2; N(T) = K/2; M(T) = – K/2;
φ(ω → ∞) = – 90o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Интегрирующее звено.
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/jω = K∙e 
/ω;
Н(ω) = K/ω; φ(ω) = – 90o;
N(ω) = 0; M(ω) = – K/ω; (3)
φ(0) = – 90o; Н(0) = ∞; N(0) = 0; M(0) = – ∞;
φ(ω → ∞) = – 90o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Колебательное звено.
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/[– (ω∙T)2 + j2ξ∙T∙ω + 1] = 
=
= 
= 
;
Н(ω) = 
; φ(ω) = – arctg{2ξ∙T∙ω/[1– (ω∙T)2]};
N(ω) = K∙[1 – (ω∙T)2]/{[1– (ω∙T)2]2 + 4(ξ∙T∙ω)2};
M(ω) = – 2K∙ξ∙T∙ω/{[1– (ω∙T)2]2 + 4(ξ∙T∙ω)2}; (4)
φ(0) = 0o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;
φ(ω) = 1/T) = – 90o; Н(T) = K/(2ξ); N(T) = 0; M(T) = – K/(2ξ);
φ(ω → ∞) = – 180o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Идеальное дифференцирующее звено.
Основные формулы и соотношения
W(jω) = jK∙ω = K∙ω∙e 
;
Н(ω) = K∙ω; φ(ω) = 90o;
N(ω) = 0; M(ω) = K∙ω; (5)
φ(0) = 90o; Н(0) = 0; N(0) = 0; M(0) = 0;
φ(ω → ∞) = 90o; Н(∞) = M(∞) = ∞; N(∞) = 0.
Кроме перечисленных ранее частотных характеристик при анализе свойств САУ широко используются логарифмические частотные характеристики, к которым относятся:
ЛАЧХ – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
ЛФЧХ – логарифмическая фазовая частотная характеристика.
ЛАЧХ представляет собой график зависимости L(ω) = 20lg[H(ω)] от десятичного логарифма частоты lg(ω). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат L(ω). Единицей L(ω) является децибел (дБ), равный одной десятой Бела. L(ω) = 20 означает, что на данной частоте при прохождении сигнала через звено его амплитуда увеличивается в 10 раз.
ЛФЧХ – это график зависимости частотной функцииφ(ω) от десятичного логарифма частоты lg(ω). При его построении по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, по оси ординат откладывают φ(ω) в градусах или радианах.
В обоих случаях за единицу масштаба по оси абсцисс принимается декада – это частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. Ось ординат при построении этих характеристик проводят часто через точку (ω = 1) которая соответствует началу координат lg(1) = 0.
На практике часто кривую линию ЛАЧХ заменяют приближенным графиком, состоящим из нескольких пересекающихся прямых отрезков (асимптот), к которым стремится логарифмическая функция при определенных значениях частот, называемых сопрягающими частотами.
Рассмотрим аналитические выражения для ЛАЧХ и правила построения асимптотических ЛАЧХ для ряда характерных типовых звеньев.
Апериодическое звено. Формула ЛАЧХ согласно (2) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgК - 20lg 
. (6)
В области низких частот ω<ωc = 1/T, меньших по значению, чем сопрягающая частота ωc, L(ω) = 20lgК. В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, параллельной оси абсцисс и проходящей на уровне 20lgК.
В области высоких частот ω>ωcL(ω) = 20lgК - 20lg(ω∙Т). В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, имеющей наклон минус 20 дБ на декаду.
Обе прямые или иначе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей сопрягающей частоте ωc = 1/T.
Интегрирующее звено. Формула ЛАЧХ согласно (3) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgК - 20lgω. (7)
Так как при частоте ω = 1 согласно выражению (7) функция L(ω) = 20lgК, то естественно асимптота в виде прямой линии с отрицательным наклоном в 20 дБ должна проходить через эту точку при ω = ωc = 1.
Колебательное звено. Формула ЛАЧХ согласно (4) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgK – 20lg 
. (8)
В области низких частот ω<ωc = 1/T, меньших по значению, чем сопрягающая частота ωc, L(ω) = 20lgК, а при значениях частоты ω>ωc можно под корнем пренебречь единицей и слагаемым 4(ξ∙ω∙T)2. В результате получаем уравнение асимптотической ЛАЧХ:
L(ω) = 
. (9)
Согласно уравнению (9) асимптотическая ЛАЧХ при ω<ωc = 1/T, где ωc – сопрягающая частота, параллельна оси частот, а при ωc имеет минус 40 децибел на декаду.
Идеальное дифференцирующее звено. Формула ЛАЧХ согласно (5) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgК + 20lgω. (10)
По аналогии с интегрирующим звеном асимптотическая ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку 20lgK при ωc = 1 с наклоном плюс 20дб/дек.
После того, как мы познакомились с частотными характеристиками САУ и правилами их построения, можно вернуться к рассмотрению других частотных критериев устойчивости систем САУ.
Частотный критерий Найквиста. Данный критерий предложен в 1932 году американским ученым Г. Найквистом и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы ее АФЧХ W(jω) при разомкнутой цепи обратной связи не охватывала в комплексной плоскости точку с координатами (- 1; j0).
Если разомкнутая система статическая (не имеет интегрирующих звеньев), то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке N(0) = H(0) = K, где К – коэффициент усиления разомкнутой системы. Заканчивается АФЧХ приω = ∞ вначале координат.
Если система является астатической (имеет интегрирующие звенья), то ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности, поскольку в знаменателе функции W(jω) имеется множитель (jω)r, где r – порядок астатизма. Соответственно, при r = 1 и ω = 0 характеристика W(jω) уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси, при r = 2 – вдоль отрицательной действительной полуоси, а при r = 3 – вдоль положительной мнимой полуоси.
Логарифмический критерий Найквиста. Для оценки устойчивости САУ по данному критерию используются графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы САУ. Система САУ считается устойчивой, если при φ(ω) = - 180о кривая ЛАЧХ находится в отрицательной области: L(ω) = 20lg[H(ω)] < 0, т.е. ЛАЧХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, перейдет за значение -180о. Систему САУ можно считать также устойчивой, если на частоте среза ωср, на которой L(ωср) = 20lg[H(ωср)] = 0, значение аргумента φ(ωср) > - 180o.
При оценке устойчивости САУ необходимо определить запас устойчивости, т.е. степень удаленности системы от границы устойчивости. В качестве меры запаса устойчивости используется запас устойчивости по амплитуде h(ω) и запас устойчивости по фазе ψ(ωср).
Запас устойчивости САУ по амплитуде h(ω) определяется на частоте ωу, при которой φ(ωу) = - 180о: h(ωу) = - L(ωу) и показывает допустимое увеличение ЛАЧХ , при котором система окажется на грани устойчивости. Запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту усиления К разомкнутой системы по отношению его к критическому по устойчивости значению.
Запас устойчивости по фазе ψ(ωср) определяется на частоте среза ωср, как: ψ(ωср) = φ(ωср) + 180о и показывает, на какую величину должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ωср, чтобы система оказалась на грани устойчивости.
При проектировании САУ рекомендуется выбирать ψ(ωср) ≥ 30о, а h(ωу) ≥ 6 дБ, что соответствует примерно двойному запасу коэффициента усиления К по устойчивости.