Экспоненциальное распределение
Если заявки на обслуживание поступают в сервисную систему абсолютно произвольно, временные интервалы между соседними заявками распределяются по экспоненциальному закону.
Рис. 5.4. Экспоненциальное распределение
Функция распределения вероятностей в таком случае имеет вид
(5д.1)
где — среднее количество заявок, поступающих за определенный период времени.
Интегрируя кривую (5д. 1), т.е, в области положительных значений, можно вычислить вероятность появления входящих заявок за определенный период времени. Так, например, при условии поступлении в очередь одной заявки в единицу времени ( = 1) можно образовать приведенную ниже таблицу, значения для которой либо получены из формулы , либо взяты из Приложения F. Во втором столбце этой таблицы приведены вероятности того, что следующая входящая заявка поступит более чем через t минут после предыдущей. В третьем столбце приведены вероятности появления следующей входящей заявки в течение t минут (они вычисляются вычитанием из столбца 1 значений столбца 2).
Распределение Пуассона
Чтобы найти число поступающих заявок в течение определенного периода Т, необходимо воспользоваться распределением Пуассона, приведенным на рис. 5.5. Оно получено вычислением вероятности появления n событий (заявок) в течение периода Т при условии, что появление событий носит произвольный характер.
Закон распределения вероятностей Пуассона описывается формулой
(5Д.2)
Применительно к рассматриваемой проблеме очередей формула (5д.2) отображает вероятность поступления конкретного числа n входящих заявок за определенный период времени T1. Так, например, если средняя интенсивность входящего в систему потока равна трем заявкам в минуту
(λ = 3) и нужно определить вероятность того, что в течение минутного периода в систему поступят именно пять заявок (λ = 5, Т= 1), то получаем
Следовательно, в любой минутный интервал в сервисную систему поступает 5 заявок с вероятностью 10,1%.
Распределение Пуассона графически чаще отображается в виде плавной кривой, как, например, показано на рис. 5.5, однако фактически оно дискретно. (Кривая сглаживается в большей мере при увеличении значения п.) Рассматриваемое нами распределение может быть только дискретным,
поскольку n в рассматриваемом случае обозначает количество заявок, поступающих в сервисную систему, а следовательно, обязательно должно быть целым числом (например, не может быть 1,5 заявки).
Обратите также внимание, что экспоненциальное и пуассоновское распределения взаимосвязаны. Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона одинаковы и равны λ .
Среднее значение экспоненциального распределения равно а дисперсия — (Нужно помнить, что интервалы между двумя входящими заявками распределяются экспоненциально, а количество заявок в единицу времени — в соответствии с распределением Пуассона.)
1 n!= n(n- 1)(n-2)...(2)(1).