Постановка задачи и анализ расчетной схемы рамы

Для плоской рамы, изображенной на рис.4.1, требуется построить эпюры усилий М, Q, N от указанной на рисунке постоянной нагрузки. Расчет выполним на ПК с помощью программы SCAD [I], в которой реализуется метод конечных элементов строительной механики.

Перед началом работы на компьютере необходимо выполнить две подготовительных операции:

1) Проверить является заданная рама статически определимой или статически неопределимой системой. Это связано с тем, что для статически определимых систем при нахождении в них только усилий упрощается задание жесткостей стержней при использовании программы SCAD (см. подраздел 1.6 первого раздела учебного пособия).

2) Вручную разбить раму на конечные элементы типа 2 (стержневой элемент плоской рамы, см. рис.1.3) с учетом особенностей ее конструкции и вида, действующей на нее нагрузки. При этом выбрать начало общей системы осей координат и продумать вопрос о методике построения расчетной схемы МКЭ с помощью программы SCAD.

Первая операция состоит из двух частей:

а) Сначала подсчитываем степень статической неопределимости n рамы. Для этого используем формулу [3÷5]:

, (4.1)

где n_оп ─ число неизвестных составляющих опорных реакций во всех опорах рамы;

n_к ─ число замкнутых контуров в раме;

3n_к ─ число неизвестных усилий, которые необходимо определить во всех замкнутых контурах, чтобы построить в них эпюры указанных усилий;

n_1ш─ число уравнений равновесия вида , которые можно записать для каждого одиночного шарнира дополнительно к имеющимся трем уравнениям равновесия для всей стержневой системы.

В рассматриваемой раме n_оп = 4; n_к = 0; n_1ш = 1. В результате по указанной формуле получаем необходимое условие статической определимости рамы: n = 0.

б) Затем исследуем геометрическую неизменяемость рамы. В данном случае для этого достаточно использовать структурный анализ рамы.

Действительно, заданную раму можно рассматривать как систему, состоящую из трех жестких дисков (АС, ВС и неподвижного жесткого диска в виде основания), которые соединены шарнирами. Такой треугольник является геометрически неизменяемой системой.

Таким образом, на основании исследований, выполненных в частях а) и б), делаем вывод о том, что заданная рама является статически определимой системой.

Второй операцией является подготовка к формированию расчетной схемы МКЭ с помощью программы SCAD:

1) Изображаем заданную расчетную схему рамы (Рис.4.2);

2) Выбираем начало общей системы осей координат (опора A );

3) С учетом нагрузки (см. указания в подразделе 1.7), разбиваем стержни на элементы и нумеруем узлы и элементы (см. рис.4.2).

4) Нумерацию узлов выполняем с учетом рекомендаций подраздела 1.5, первого раздела учебного пособия.

(5)

5) Рядом с номером узла указываем его координаты в общей системе координат в последовательности X, Y, Z (так как рама плоская, координата Y у всех узлов равна нулю).