Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на основу d2 нової системи до тих пір, поки не вийде частка, менша за основу d2. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d2, а наступні за нею цифри – це залишки від ділення, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.

Приклад 1.1 Перевести число 2510 у двійкову та вісімкову систему числення:

 

а)       б)
     
напрям читання

     
напрям читання

       
           
               

 

Шукані числа пишуться у вигляді (25)10=(11001)2=(31)8.

Зробимо перевірку переведення зворотнім переведенням шуканих чисел у десяткову систему числення:

а) (11001)2=1 24+1 23+0 22+0 11+1 20=16+8+0+0=1=(25)10.

б) (31)8=3·81+1·80=24+1=(25)10.

Переведення правильних дробів. Для того щоб перевести правильній дріб з системи числення d1 у систему з основою d2, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини отриманих добутків на основу d2 нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d2 формується у вигляді цілих частин отриманих добутків починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d2-q, то після q множень на d2 записують усі знайдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде подавати дробову частину числа у новій системі числення.

Приклад 2. Десятковий дріб 0,3126 перевести у двійкову систему числення з точністю до 2-4.

 

0,3126   0,6252   0,2504   0,5008
x 2   x 2   x 2   x 2
напрям читання
0,6252

  1,2504   0,5008   1,0016

 

Тобто шукане число запишеться у вигляді: (0,3126)10=(0,0101)2, а найбільша помилка буде 2-4.

Перевірку проведемо переведенням знайденого двійкового числа у десяткове:

(0,0101)2=0 2-1+1 2-2+0 2-3+1 2-4=1/4+1/16=6/16=(0,3125)10.

Приклад 3. Десятковий дріб 0,6 перевести у вісімкову систему числення з точністю 8-5.

 

 

0,6   0,8   0,4   0,2   0,6
x 8   x 8   x 8   x 8   x 8
4,8   6,4   3,2   1,6   4,8

напрям

 

При переведенні обмежуємося п’ятьма розрядами (q=5). Тоді шукане число запишеться у такому вигляді: (0,6)10=(0,46314)8, а найбільша помилка буде (≤8-5).

Переведення змішаних чисел. При переведенні змішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне змішане число нової системи числення.

Приклад 4. Перекласти десяткове мішане число 159,75 у двійкову систему числення з точністю 2-3.

(159)10=(10011111)2;

(0,75)10=(0,11)2,

(159,75)10=(10011111,11)2.