Основні теоретичні відомості. Аналіз двовимірних динамічних автономних систем методом фазової площини
Аналіз двовимірних динамічних автономних систем методом фазової площини
Метод фазової площини– цеграфоаналітичний метод дослідження нелінійних систем диференціальних рівнянь в деякому діапазоні початкових умов.
Метод дозволяє аналізувати нелінійні системи другого порядку і полягає у побудові фазових траєкторій (поданні динаміки системи диференціальних рівнянь рухом зображуючої точки на фазовій площині).
Нехай задана система:
(1.1)
Площина 
називається фазовою площиною. Стан системи в будь-який момент часу (або фаза руху) визначається парою чисел 
та зображується на фазовій площині точкою М. При зміні стану системи зображуюча точка описує у фазовому просторі траєкторію, яка називається фазовою траєкторією. Множина фазових траєкторій динамічної системи – її фазовий портрет.
Диференціальне рівняння фазових траєкторій отримаємо, розділивши друге рівняння на перше:
(1.2)
Фазові траєкторії будуються за розв'язком рівняння (1.2), якщо його можна знайти, або безпосередньо за рівнянням (1.2), використовуючи метод ізоклін. Ізокліною називається геометричне місце точок однакового нахилу фазових траєкторій до горизонталі, тобто точок, в яких:
(1.3)
Рівняння ізокліни:
(1.4)
За фазовим портретом можна судити про характер перехідних процесів в системі. Для цього потрібно: 1) знайти області стійкості; 2) визначити точки рівноваги; 3) оцінити перерегулювання та амплітуду коливань.
В точках рівноваги зображення точки М зупиняються. Точка рівноваги – це фазова крива, яка є фазовою точкою. Рівняння точок рівноваги:
Точки рівноваги називаються особливими, тому що в них нахил фазових траєкторій не визначений. Точка рівноваги може бути стійкою, якщо всі фазові траєкторії в околі особливої точки збігаються до неї, та нестійкою, якщо фазові траєкторії розбігаються від неї. Особливі точки класифікуються за характером фазових траєкторій в їх околі (див. рис. 1.1).
Рис. 1.1. Особливі точки: а – стійкий вузол; б – нестійкий вузол; в – стійкий фокус;
г – нестійкий фокус; д – сідло; е – центр
Правило руху зображуючої точки. Нехай система має вигляд:
.
Якщо 
, 
– зростає, точка рухається зліва направо. Якщо 
, 
– спадає, точка рухається справа наліво.
Зауваження: через кожну неособливу точку фазової площини для неперервних, всюди диференційовних, однозначних нелінійних функцій проходить єдина фазова траєкторія, тобто фазові траєкторії не перетинаються в неособливих точках.
Криві перехідного процесу. Відмітивши характерні точки, за даними фазовими траєкторіями можна побудувати відповідну криву перехідного процесу. Нелінійні системи характеризуються великим розмаїттям фазових портретів. Вони можуть мати декілька особливих точок. При наявності декількох точок рівноваги можливі різні типи фазових траєкторій:
Ø сепаратриси – особливі криві, що розділяють фазову площину на області з різними типами фазових траєкторій;
Ø граничні цикли – ізольовані замкнені криві, що відповідають періодичним режимам.
Ізоморфні замкнені траєкторії (граничні цикли) класифікуються за характером їх стійкості:
Ø стійкий граничний цикл – до якого зсередини і зовні збігаються фазові траєкторії (відповідає стійкому періодичному режиму – автоколиванням) (рис.1. 2,а).
Ø нестійкий граничний цикл – від якого зсередини і зовні фазові траєкторії віддаляються (рис 1.2,б).
Ø напівстійкі граничні цикли – наведені на рис. 1.1,в,г.
Рис1.2. Граничний цикл: а — стійкий; б — нестійкий; в, г — напівстійкий
Таким чином, метод фазової площини дозволяє визначити число, типи та характер особливих точок; ізолювати замкнені траєкторії; знайти сепаратриси; наочно представити усю сукупність рухів, що виникають в динамічних системах за будь-яких початкових умов.