Эластичность экономических функций
Эластичность — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при относительном приращении аргумента стремящемся к нулю, то есть
Эластичность можно определить через производную и средние величины:
или как логарифмическую производную:
так как
Для функции, заданной на конечном множестве значений xi рассматривают конечную (процентную) эластичность:
Эластичность спроса по цене определяется равенствами:
где D = D(Р) — функция спроса, Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.
Напомним, что функция спроса D = D(Р)— убывающая функция, поэтому эластичность 
отрицательна (точнее, неположительная), обычно анализируется величина | |.
Свойства эластичности:
1. эластичность – безразмерная величина, то есть 
= 
2. эластичность взаимообратных функций – взаимообратные величины. 
3. эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть 
4. Экономический смысл эластичности: это процентное изменение экономического показателя при изменении аргумента на один процент.
Эластичность от некоторых функций следующая:
· эластичность от степенной функции постоянна и равна
· эластичность от показательной функции пропорциональна аргументу, то есть 
· эластичность от линейной функции: 
В зависимости от значений | |. различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если | |> 1, то есть относительное повышение цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противоположном случае, если | | ≤ 1, товар называют товаром неэластичного спроса.
Существует связь между предельной прибылью и эластичностью спроса по цене.
Как уже отмечалось выше, суммарная выручка R(Q) исчисляется по формуле R(Q) = QP(Q), где P(Q) — функция спроса. Тогда предельную выручку R'(Q) можно выразить через .
Равенство 
справедливо для любой функции спроса.
Отсюда вытекает, что при реализации товаров неэластичного спроса (| | ≤ 1), предельная выручка отрицательна и суммарная выручка падает; если же спрос на товар эластичный (| |> 1), то предельная выручка положительна и, следовательно, суммарная выручка возрастает. Справедливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарная выручка — возрастающая функция.
Эластичность предложения по цене определяется равенствами:
где S = S(P) — функция предложения, Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р . Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность 
неотрицательная, и анализируется величина
Ниже приведены вычисления предельной прибыли и эластичности спроса по цене при квадратичной функции спроса
Из второго свойства эластичности следует 
Поэтому
,
 |
|
|
 |
Рис.4
Показано графическое определение объема продукции и цены, при которых товар теряет эластичность (Е≤1).
На рис. 5 изображены графики зависимостей выручки R(Q)и предельной выручки RP(Q)в зависимости от объёма продукции Q,приобретенной потребителем по цене Р.
|
|
Рис. 5.
Оба показателя имеют максимумы при разных значениях Q;максимум Rдостигается,когда Rробращается в нуль.
Для аналитического определения цены, при которой спрос на товар теряет эластичность, необходимо решить уравнение 
=1 относительно Qи подставить найденное значение в выражение для Р= Р(Q). Для рассматриваемого примера Q=4,517 , P(Q)=1,37.
Порядок выполнения задание
1. Определите функцию спроса Р= Р(Q) .
2. Найдите эластичность спроса по цене.
3. Определите функцию суммарной выручки.
4. Найдите предельную выручку.
5. Постройте графики эластичности спроса по цене и предельной выручки.
6. Постройте график суммарной выручки и предельной выручки.
7. Найдите на графику точку, в которой |ED| = 1 .Определите графически. цену, при которой товар теряет эластичность.
8. Найдите аналитически точку Q, в которой |ED| = 1 .
9. Вычислите аналитически соответствующее значение цены.
, где 
- функция спроса
–суммарная выручка
–предельная выручка
нет решений.
- уравнение вертикальной асимметрии.
– уравнение наклонной асимметрии.
№6 Модель межотраслевого баланса
(модель Леонтьева В.В.)
Любое национальное хозяйство развивается в сложной системе межотраслевых взаимосвязей, понять которые во всей их совокупности путем простого суммирования невозможно. Например, спрос на автомобили оказывает влияние не только на автомобильную промышленность, но и косвенным путем на металлургию и области, которые вырабатывают шины, бортовую электронику, а через них на производство микросхем. Изменения в одной области неизбежно сказывается во всем народном хозяйстве.
Для анализа межотраслевых связей выдающийся экономист Леонтьев В.В. разработал специальный метод балансового анализа – “анализ затраты-выпуск” (Input-output analysis или I/O analysis), который позволяет исследовать процессы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должна выработать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности национального хозяйства системы в его продукции.
Пусть весь производственный сектор национальной экономике разделен на n “чистых отраслей ” (секторов). Словосочетание “чистая область” означает, что продукция каждой области является однородной.
Чистая область является экономической абстракцией, не обязательно существующей в виде каких-то организационных форм, то есть это модель. Например, под отраслью “электроэнергетика” можно понимать совокупность всех электростанций независимо от их принадлежности. Подобная идеализация разрешает провести тщательный анализ сформированной технологической структуры общественного производства и распределения.
Предположим, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли вырабатывают разную продукцию. В процессе производства своего вида продукции каждая отрасль потребляет продукцию других отраслей.
Пусть в какой-либо момент времени Т0 составлен балансовый отчет по национальной экономике по итоговым данным за фиксированный период времени, например, за прошедший год, по следующей форме.
Таблица 1
| Отрасли покупатели (сектора Отрасли спро- родавцы са) (сектора предложений) | Отрасли производства | Конечный спрос (потребление инвестиции, экспорт(+), импорт(-) ) | Объем выпуска | ||||||
| …. | j | ….. | n | ||||||
| Отрасли производства | 11 | 12 | …. | 1j | …. | 1n | y1 | q1 | |
| 21 | 22 | …. | 2j | …. | 2n | y2 | q2 | ||
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | |
| i | i1 | i2 | …. | ij | …. | in | yi | qi | |
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | |
| n | n1 | n2 | …. | nj | …. | nn | yn | qn | |
| Добавленная стоимость (прибыль занятых по найму, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее) | g1 | g2 | .... | gj | .... | gn | - | D | |
| Объем затрат | q1 | q2 | .... | qj | .... | qn | D | V |
Строки приведенной таблицы показывают распределение выпуска (output) каждого вида продукции. Величина ij показывает объем продукции отрасли i, которую закупили у нее отрасли j ( i, j = 1,2,…) в качестве промежуточных продуктов. Конечный спрос yi показывает объем продукции i-й отрасли, который был потреблен на инвестиции, экспорт, для создания запасов. Число qi равняется общему объему продукции (валовому выпуску) i-й отрасли за отчетный период. Каждая строка характеризуется следующим балансом:
выпуск данного вида продукции = промежуточный спрос + конечный спрос,
который математически может быть записан как
(1)
Столбцы таблицы показывают структуру затрат (input), или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс:
затраты отрасли = промежуточные затраты + добавленная стоимость
что в математической записи выглядит как
(2)
Промежуточные затраты являются исходными материалами, закупленными i – й отраслью у отраслей (секторов) 1,2,...,n. Добавленная стоимость является факторными затратами отрасли, то есть вновь приобретенной стоимостью, которая распадается на заработную плату, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления.
Для национальной экономики, исходя из закона сохранения должны выполняться отношения:
Выпуск отрасли = затраты отрасли,
Общая сумма конечного спроса = общая сумма добавленной стоимости.
Математически это записывается следующим образом:
(3)
(4)
Уравнения (3) и (4) называются балансовыми уравнениями. Единицами измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (тонны, штуки) или стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостный баланс. В будущем будим иметь в виду стоимостный баланс.
Таблица 1 также называется таблицей межотраслевого баланса и она позволяет изучать структуру потоков ресурсов в национальной экономике. Но более информативными являются относительные величины. Если все элементы αij таблицы 1 разделить на величину qj (объем продукции j – й отрасли), а числа yi на qi , то числа aij =αij /qj , i,j = 1,2,…,n, можнопонимать как объем продукции i - й отрасли, необходимой для производства одной единицы продукции отрасли с номером j; числа
yi / qi , i = 1,2,…,n, как долю продукции i –й отрасли, которая пошла на непроизводственное потребление.
Числа aij ,i = 1,2,…,n, носят название коэффициентов прямых, непосредственных затрат j – й отрасли и в некотором смысле полностью характеризуют технологию j – й отрасли в отчетном периоде: выпуск единицы продукции возможен при структуре затрат, характеризуемыми величинами aij. Исходя из экономического смысла, считаем коэффициенты aij положительными.
Матрица А=[ aij ], составленная из коэффициентов прямых затрат aij , несет много информации о структуре межотраслевых связей и существующей технологии общественного производства, которые сложились в народном хозяйстве. Сравнивая такие матрицы, составленные в разные моменты времени, можно прогнозировать направления изменения и развития технологии.
Например, некоторые коэффициенты затрат труда при семидесяти шести отраслевой схеме классификации отраслей народного хозяйства США имеют вид
Таблица 2
| Название отрасли | 1947 г. | 1958 г. |
| Автомобили и оборудование | 0,2149 | 0,1569 |
| Ремонт автомобилей | 0,4769 | 0,4969 |
| Нефтепереработка | 0,1328 | 0,0881 |
Из таблицы 2 видно, что вследствие внедрения прогрессивной технологии резко уменьшились затраты на производство автомобилей и нефтепереработку, но в сфере ремонта автомобилей, где преобладает ручной труд, относительные затраты возросли.
Матрицу А можно использовать для текущего и долгосрочного планирования. Сделаем следующие предположения:
§ Существующая технология производства неизменна в течение некоторого промежутка времени [T0, T], где Т>T0 . В зависимости от поставленной задачи промежуток [T0, T] может равняться одному календарному периоду (год) или нескольким.
§Технология производства линейная, то есть будем считать, что для выпуска продукции i-й отрасли объемом xi необходимо и достаточно сделать затраты в объемах xiaij , j=1,2,…,n, продукции каждой отрасли.
Все это вместе приводит к тому, что мы будем рассматривать идеализацию реальных процессов - модель. Мы не можем производить какой угодно объем продукции, так как не хватит прежде всего производственных мощностей.
Пусть i-яотрасль должна вырабатывать объем xi, i=1,2,…,n, валового выпуска своей продукции. Обозначим через X = [ 
, 
,…., 
]T матрицу-столбец валового выпуска всех секторов. 
Воспользовавшись предположением о линейности, рассчитаем затраты отрасли i на выпуск продукции в других отраслях. Это будет
. (5)
Из уравнения баланса вытекает, что выражение (5) равняется xi минус конечный спрос, то есть
где 
yконечный спрос на продукцию i-йотрасли.
В матричном виде AX = X - Y, или
( E – A ) X = Y, (6)
где Y - вектор конечного спроса национальной экономики, E – единичная матрица.
Матрица B = (E-A)-1 называется матрицей полных затрат или обратной матрицей Леонтьева. Уравнение (6) вместе с интерпретацией матрицы A и векторов X, Y называется моделью Леонтьева. При планировании ставится задача: найти вектор X валового выпуска, чтобы удовлетворить вектор конечного спроса Y при существующей структуре экономики, которая задается матрицей A.
Если задан вектор конечного спроса Y и существует положительный вектор производства X, которыйудовлетворяет уравнению (6), то модель Леонтьева называется продуктивной.
Для установления продуктивности модели Леонтьева необходимы выполнения условия Хаукинса-Саймона:
Теоретически решение уравнения (6) весьма компактно:
X = (E – A )-1 Y = B∙Y,
где B = ( E – A )-1 - обратная матрица Леонтьева. C являетсяни чем иным, как матрицей коэффициентов полных затрат. Экономическое содержание ее элементов bij заключается в следующему: коэффициент bij показывает общую потребность в валовом выпуске продукции отрасли i для производства единицы конечной продукции отрасли j.
Например, для выпуска автомобилей нужна продукция металлургической отрасли, это будет первичный спрос; также нужны подшипники, для выпуска которых нужна продукция металлургической отрасли – это образует вторичный спрос со стороны отрасли автомобилестроения на продукцию металлургической отрасли и так далее.
Порядок выполнения задания
1. Составьте и введите матрицу межотраслевого баланса.
2. Вычислите объем выпуска и платежи в сектор конечного спроса для каждой отрасли.