Многопродуктовая модель управления запасами с ограниченной вместимостью склада

В подавляющем большинстве случаев на предприятии хранится значительный ассортимент n товаров, имеющих определенные размеры и объем.

Предположим, что специалистами из отдела логистики весь ассортимент товара разделен на группы, и каждая группа управляется определенной моделью управления запасами, т.е. рассчитаны оптимальный размер заказа и время поставки. Рассчитаем площадь, которую занимает весь ассортимент товаров. Может оказаться, что она больше площади склада. В данном случае перед отделом логистики ставится задача уменьшения количества товаров, хранимых на складе, за счет корректировки оптимального размера заказа. Математическая модель данной задачи имеет вид:

, (1.5.1)

где

СЗ – суммарные затраты на хранение и доставку всех товаров, руб.;

Аi – стоимость оформления (подачи) заказа на поставку i-го товара, руб.;

Si – потребность в i-ом товаре в единицу времени, шт;

Qi – оптимальный размер заказа на поставку i-го товара, шт.;

Wi – стоимость хранения единицы i-го товара.

при ограничениях:

, (1.5.2)

,

i – целое положительное число.

где

аi – площадь, занимаемая при хранении единицы i-го товара, м2;

N – площадь склада, м2.

Если весь ассортимент товаров на складе можно разделить на группы по степени важности, то сокращение оптимального размера заказа происходит за счет наименее прибыльных. В случае если рассматривается группа товаров, взаимоувязанных между собой или имеющих высокие издержки на хранение и относительно стабильный спрос, то для корректировки оптимального размера заказа можно использовать метод множителей Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа:

, (1.5.3)

, (1.5.4)

где

l - множитель Лагранжа (l≤0).

Представим (1.5.4) в более удобном для дальнейшего анализа виде:

,

или

(1.5.5)

где

Li – слагаемое, соответствующее скорректированным суммарным затратам на поставку i-го товара, .

Оптимальные значения Q* и l* находятся из следующей системы уравнений (необходимые условия для экстремума функции Лагранжа):

(1.5.6)

.

Из формулы (1.5.6) найдем скорректированный оптимальный размер заказа для каждого товара:

. (1.5.7)

Алгоритм решения:

1 шаг. Для каждого товара рассматриваемой группы определить оптимальный размер заказа по формуле Уилсона (1.1.5).

2 шаг. Определить суммарную площадь, занимаемую всеми товарами, и коэффициент использования склада:

. (1.5.8)

Если Ku >1 (рассчитанная площадь больше площади склада или выходит за заданные в задаче ограничения), то следует перейти к шагу три, в противном случае расчет прекращается.

3 шаг. Рассчитывать значение скорректированного оптимального размера заказа для каждого товара по формуле 1.5.7, уменьшая значение множителя Лагранжа, до тех пор, пока не будет соблюдено ограничение 1.5.2. или достигнуто требуемое значение Ku.

Задача

Предприятие планирует выделить 135 м2 для хранения трех видов товаров, обладающих стабильным спросом. Затраты на хранение, потребность, стоимость подачи заказа и занимаемая площадь для всех товаров отражены в таблице. Определить оптимальный размер заказа для трех товаров, чтобы коэффициент использования склада был больше 0,96.

Товар А, руб. S, т./день W, руб./сутки а, м2
1,7
3,1 1,5

Решение

Определим оптимальный размер заказа для каждого товара по формуле Уилсона:

т.;

т.;

т.

Рассчитаем суммарную площадь, занимающую партией товаров:

м2;

м2;

м2;

м2.

Так как суммарная площадь товаров превышает размеры склада, то для определения оптимального размера заказа воспользуемся формулой 1.5.7. Расчет будем вести в табличной форме.

 

l Q1 Q2 Q3 a1 x Q1 a2 x Q2 a3 x Q3
-0,1 34,2 27,5 29,4 68,4 27,5 44,1 1,04
-0,2 31,6 26,2 28,2 63,2 26,2 42,3 0,97
-0,3 29,6 27,1 59,2 40,65 0,92

 

При l = -0,2 коэффициент использования склада будет больше 0,96 и равен 97 %. Таким образом, оптимальный размер заказа для первого, второго и третьего товара равен 31,6 т., 26,2 т. и 28,2 т. соответственно.

Задачи

1. Объем продаж телевизоров составляет в месяц 4000 шт. Стоимость хранения одного телевизора в год обходится магазину в 210 у.е. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 100 у.е. Время доставки телевизоров 15 дней, возможное время задержки 3 дня. Определить оптимальную стратегию управления запасами и дать графическое представление стратегии.

2. Спрос на продукцию компании составляет 2100 шт. в месяц. Издержки на хранение единицы продукции составляют 0,7 у.е./день. Стоимость подачи заказа составляет 300 у.е. Время доставки продукции 12 дней, возможное время задержки 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным размером заказа и дать графическую модель системы

3. Предприятие желает определить оптимальный размер заказа для каждого из трех видов продукции таким образом, чтобы коэффициент использования склада был равен 0,96. Площадь склада 140 м2.

Товар Стоимость подачи заказа, у.е. Потребность, дн. Затраты на хранение, у.е./день Площадь товара, м2
0,3 1,1
0,2 0,7
0,1 2,4

 

4. Для производства трехколесного велосипеда компания заказывает колеса по цене 100 у.е./шт. Годовая потребность в велосипедах составляет 4000 шт. Издержки на хранение одного колеса на складе составляют 0,4 у.е./день. Стоимость подачи заказа составляет 120% от стоимости колеса. Время поставки партии колес – 11 дней, возможное время задержки – 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами и дать графическую модель системы.

5. Определить оптимальный размер заказа для трех видов продукции таким образом, чтобы количество заказов в год (365 дней) для каждого вида товара составляло не более 110, 120 и 115 соответственно.

Товар Стоимость подачи заказа, у.е. Потребность, дн. Затраты на хранение, у.е./день
0,4
0,5
0,4

 

6. Стулья продаются по 30 у.е. за штуку, но предполагается 15% скидка при покупке партии 130 шт. и более. Квартальная потребность в стульях для компании составляет 120 шт., стоимость подачи заказа составляет 70 у.е. Издержки на хранение единицы товара на складе составляет 0,4 у.е./день. Определить оптимальную стратегию управления запасами.

7. Определить оптимальный размер заказа для 4-х видов товаров, если площадь склада равна 140 м2.

Товар Стоимость подачи заказа, у.е. Потребность, дн. Затраты на хранение, у.е./день Площадь товара, м2
0,3 1,2
0,3 0,9
0,4 0,8
0,4 1,4

 

8. Ежегодная потребность в материалах для строительства составляет 3200 т. Стоимость подачи заказа – 230 у.е. Затраты на хранения одной тонны материалов на складе составляет 0,9 у.е. в сутки. Время доставки материалов на строительную площадку составляет 17 дней, максимально возможное время задержки в поставке составляет 2 дня. Определить оптимальную стратегию управления запасами и дать графическое представление модели.

9. Для изготовления люстр с тремя лампочками компания заказывает лампочки по цене 10 у.е. за штуку. Годовая потребность в люстрах составляет 4300 штук. Стоимость подачи заказа составляет 250 у.е. Издержки на хранение одной лампочки на складе обходится компании в 5,6% от стоимости лампочки в день. Время доставки материалов на строительную площадку составляет 14 дней, максимально возможное время задержки в поставке составляет 1 день. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами и дать графическую модель системы.

10. В каждом из следующих случаев дефицит не допускается, а время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 30 дней. Требуется определить оптимальную стратегию управления запасами и соответствующие дневные затраты, если

1) А = $100, W = $0.05, S = 30 единиц в день, или

2) А = $50, W = $0.05, S = 30 единиц в день, или

3) А = $100, W = $0.01, S = 40 единиц в день, или

4) А = $100, W = $0.04, S = 20 единиц в день.

11. Ресторан заказывает мясной фарш в начале каждой недели для удовлетворения недельного спроса в 300 фунтов. Фиксированная стоимость размещения заказа равна 20 долларов. Стоимость замораживания и хранения одного фунта фарша обходится ресторану примерно в 0.03 доллара в день. Определите недельные затраты ресторана, связанные с существующей стратегией создания запаса. Определите оптимальную стратегию управления запасами в предположении, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно нулю. Вычислите разность между текущими недельными затратами ресторана и теми, которые определяются оптимальной стратегией управления запасами.

12. Компания хранит на складе продукцию, которая потребляется с интенсивностью 50 единиц в день. За размещение заказа компания каждый раз платит 20 долларов. Стоимость хранения единицы продукции на складе обходится в $0.35 в неделю. Определите оптимальную стратегию управления запасами, предположив, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 1 неделе. Определите оптимальное количество заказов в течение года (считая, что год имеет 365 дней).

13. Отдел снабжения компании предложил две стратегии управления запасами.

Стратегия 1. Объем заказа 150 единиц при точке возобновления заказа в 50 единиц и времени выполнения заказа 10 дней.

Стратегия 2. Объем заказа 200 единиц при точке возобновления заказа в 75 единиц и времени выполнения заказа 15 дней.

Затраты на оформление заказа равны 20 долларов, а стоимость хранения единицы продукции на складе обходится в $0.02 в день. Какую из двух стратегий следует утвердить? Если бы вы отвечали за разработку стратегии управления запасами, какова была бы ваша рекомендация?

14. Магазин прессует и складывает в поддоны пустые картонные упаковочные коробки для их последующей переработки. За день штабелируется пять поддонов. Стоимость хранения одного поддона на заднем дворе магазина составляет 0.10 доллара в день. Компания, которая перевозит поддоны в перерабатывающий центр, устанавливает оплату в 100 долларов за аренду своего погрузочного обору­дования плюс 3 доллара за перевозку каждого поддона. Изобразите графически изменение количества поддонов с течением времени и разработайте оптимальную стратегию доставки поддонов в перерабатывающий центр.

15. Отель использует внешнюю прачечную для стирки полотенец. За день в отеле накапливается 600 грязных полотенец. Прачечная забирает эти полотенца и заменяет их чистыми через постоянные промежутки времени. Стоимость однократной доставки полотенец в прачечную и обратно равна 81 доллар. Стирка одного полотенца обходится в $0.60. Стоимость хранения в отеле грязного и чистого полотенец равна $0.02 и $0.01 соответственно. Как часто следует отелю пользоваться службой доставки полотенец? (Подсказка. В этой задаче имеется два типа складируемых предметов. Если количество грязных полотенец возрастает, то количество чистых уменьшается с равной интенсивностью.)

16. Фирма может производить изделие или покупать его у подрядчика. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 дол­ларов. Мощность производства составляет 100 единиц в день. Если изделие заку­пается, затраты на размещение каждого заказа равны 15 долларов. Затраты на со­держание изделия на складе, независимо от того, закупается оно или производится на фирме, равны $0.02 в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 260 000 единиц в год. Предположив, что фирма работает без дефицита, оп­ределите, что выгоднее – закупать или производить изделия?

17. Продукция используется с интенсивностью 30 единиц в день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0.05 доллара в день, стоимость размещения заказа составляет 100 долларов. Предположим, что дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 долларов за единицу продукции, если объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 долларов в противном случае. Определите оптимальную стратегию управления запасами при условии, что срок выполнения заказа равен 21 день.

18. Комплектующие продаются по 25 долларов за единицу, но предлагается 10% скидка при покупке партии от 150 единиц и выше. Компания в день использует 20 единиц комплектующих. Стоимость размещения заказа равна 50 долларов, стоимость хранения единицы товара составляет 0.30 доллара в день. Следует ли компании воспользоваться скидкой?

19. В предыдущем упражнении определите пределы изменения скидки на цену комплектующих в процентах (предлагаемую за партию от 150 единиц и выше), при которых компания не получит никакой финансовой выгоды.

20. Определить оптимальный размер заказа для 4-х видов товаров, если площадь склада равна 120 м2.

Товар Стоимость подачи заказа, у.е. Потребность, дн. Затраты на хранение, у.е./день Площадь товара, м2
0,3 1,2
0,2 1,9
0,4 0,8
0,4 1,4