Примечание к решению типовых задач. 9 страница
; 
; 
; 
; 
; 
.
Уравнение параболы второго порядка имеет вид: 
. Знак минус у коэффициента регрессии а2 указывает на то, что парабола обращена своей вершиной вниз. То есть, у параболы есть точка минимума, в которой результат 
принимает наименьшее значение. Достигается это минимальное значение при условии равенства нулю первой производной данной функции. В нашем примере 
или 
. Отсюда 
.
В соответствии с используемой моделью параболы второго порядка численность занятых в экономике РФ будет наименьшей в период между 11 и 12 годами, то есть в период 2000-2001 года. В этот момент численность занятых достигнет своего минимального значения в 63,8 млн. чел.:
(млн. чел.).
Начиная с этого момента, в соответствии с рассматриваемой моделью, численность занятых в экономике РФ будет постепенно увеличиваться. Проблема состоит в том, чтобы определить те временные границы, в которых рассматриваемая модель может использоваться с наибольшей результативностью, т.е. давать наиболее точные и достоверные прогнозы.
Для нас важной особенностью представляемой модели является то, что в ней реализуется гипотеза о стабилизации процесса снижения численности занятых и следующего за ним процесса постепенного увеличения контингента занятых. Но, при этом, очень важно, чтобы для модели были характерны высокие оценочные параметры.
В гр. 9, 10 и 11 представлены данные для расчёта показателей тесноты описанной параболой связи. Уравнение выявило весьма тесную связь ( 
), которая на 98,5% детерминирована системой устойчивых, статистически значимых факторов. Об этом говорит F-критерий, фактическое значение которого в десятки раз превышает его табличное значение: 
при d.f.1=2; d.f.2=8 при α=0,05.
Ошибка аппроксимации имеет весьма малое значение: 
=0,6%, что указывает на хорошие перспективы при использовании модели для прогнозных расчётов.
В табл. 9 представлены данные для проверки наличия автокорреляции в отклонениях фактических уровней ряда от теоретических, рассчитанных по уравнению параболы.
Рассчитаем определители для коэффициента регрессии отклонений с1 и по ним определим его значение: 
С помощью коэффициента регрессии отклонений (с1) и значений средних квадратических отклонений каждого ряда остатков ( 
и 
) определим коэффициент автокорреляции:
; 
.
Таблица 9.
| Годы | 
| 
| 
| 
| 
|
| 77,2 | -0,6 | — | — | — | |
| 73,1 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
| 70,8 | 0,4 | 0,1 | 0,04 | 0,01 | |
| 69,2 | 1,0 | 0,4 | 0,40 | 0,16 | |
| 67,9 | 0,1 | 1,0 | 0,10 | 1,00 | |
| 67,0 | -0,6 | 0,1 | -0,06 | 0,01 | |
| 66,2 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
| 65,5 | -0,4 | 0,1 | -0,04 | 0,01 | |
| 64,9 | -0,6 | -0,4 | 0,24 | 0,16 | |
| 64,3 | 0,0 | -0,6 | -0,00 | 0,36 | |
| 63,8 | 0,5 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | |
| Итого | 749,73 | 0,6 | -0,5 | 0,56 | 2,43 |
| Средняя | — | 0,06 | -0,05 | — | — |
| D | — | 0,476 | 0,491 | — | — |
Как показали расчёты коэффициента автокорреляции, отклонения от параболического тренда находятся в слабой взаимосвязи, которая не является статистически значимой, устойчивой и надёжной. То есть, парабола наилучшим образом отражает форму основной тенденции в фактических уровнях.
Кроме того, парабола способна реализовать прогноз, основанный на предположении о постепенной стабилизации численности занятых с её последующим увеличением. В качестве альтернативы может быть рассмотрен прогноз, основанный на гипотезе о снижающейся численности занятых, но с затухающими темпами этого снижения, то есть вариант стабилизирующейся численности занятых. Указанный вариант прогноза может быть выполнен либо по уравнению равносторонней гиперболы, либо по степенной модели. Окончательный выбор вариантов прогноза может быть сделан по результатам анализа оперативной информации о текущих изменениях численности занятых в экономике РФ.
Заканчиваем решение задачи выполнением прогноза по параболе второго порядка. Прогноз выполним на четыре года: на 2001 – 2004 гг. Условный фактор – фактор времени t, примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть, 
При подстановке значений 
и 
в уравнение параболы и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозные значения численности занятых:
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.
По результатам прогноза по параболе численность занятого населения в ближайшие годы будет постепенно возрастать, достигая 64 – 65 млн. чел.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта ( 
) и импорта ( 
) Франции, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - 
, а для импорта – 
.
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: 
и 
| Годы | Экспорт ( )
| Импорт ( )
| ||
 .
|
| 
|
| |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
| Mt | Zt | t | |
| Mt | 0,9606 | 0,8836 | |
| Zt | 0,9606 | 0,8629 | |
| T | 0,8836 | 0,8629 | |
| Итого | |||
| Средняя | 266,6 | 260,7 | 5,5 |
| 35,579 | 30,845 | 2,872 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( 
и 
);
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: 
; 2) уровней рядов: 
и 3) коэффициент частной корреляции уровней: 
; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной с 
4. Проанализируйте полученные результаты.
Решение.
1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: 
и 
(см. табл. 1)
Таблица 1.
| Годы |
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -31 | -36 | ||||||||
| -14 | -17 | ||||||||
| -5 | -35 | ||||||||
| -4 | -3 | ||||||||
| -21 | -1 | ||||||||
| Итого | — | — | |||||||
| Средняя | 266,6 | — | 260,7 | — | — | 283,6 | 248,8 | ||
| Сигма | 35,58 | — | 30,84 | — | 16,84 | 15,77 | — | — | — |
| D | 1265,84 | — | 951,41 | — | 283,60 | 248,80 | — | — | — |
Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1, 
и 
. Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: 
.
В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного: 
. С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,8935 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:
; 
Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 70,0% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 30% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.
Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:
.
Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а1 и далее с помощью 
и 
расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.
Расчёт определителей дал следующие результаты:
Значения параметров регрессии: 
; 
, а уравнение имеет вид:
.
Коэффициенты тесноты связи уровней составят: 
; 
. Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 92,2% вариации экспорта.
Таблица 2.
| Годы |
|
| 
| 
| 
|
| Итого | |||||
| Средняя | 266,6 | 260,7 | |||
| Сигма | 35,58 | 30,84 | |||
| D | 1265,84 | 951,41 |
2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.
В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 70% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 18,9. Это больше табличного (F табл.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.
3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: 
. В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.
Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1 , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .
Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.
Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: 
рассчитаем значения 
-коэффициентов:
Получено следующее уравнение: 
.
Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд: 
По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: 
; 
.
Уравнение имеет вид: 
. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t ) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.
Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:
; 
.
Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.
Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора Z и фактора t. То есть, 
Приложения
Приложение 1.
Таблица значений F-критерия Фишера
| k2 -степени свободы остаточной дисперсии (k2 =n-m-1) | k1 - степени свободы факторной дисперсии (k1 = m ) | |||||||||||
| k1=1 | k1=2 | K1=3 | k1=4 | |||||||||
| Уровень значимости, α | ||||||||||||
| 0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | |
| 39,9 | 161,5 | 49,5 | 199,5 | 53,6 | 215,72 | 55,8 | 224,57 | |||||
| 8,5 | 18,5 | 98,5 | 9,0 | 19,0 | 99,00 | 9,2 | 19,16 | 99,2 | 19,2 | 19,25 | 99,30 | |
| 5,54 | 10,13 | 34,1 | 5,46 | 9,6 | 30,82 | 5,39 | 9,28 | 29,5 | 5,34 | 9,12 | 28,71 | |
| 4,54 | 7,71 | 21,2 | 4,32 | 6,9 | 18,00 | 4,19 | 6,59 | 16,7 | 4,11 | 6,39 | 15,98 | |
| 4,06 | 6,61 | 16,3 | 3,78 | 5,79 | 13,27 | 3,62 | 5,41 | 12,1 | 3,52 | 5,19 | 11,39 | |
| 3,78 | 5,99 | 13,8 | 3,46 | 5,14 | 10,92 | 3,29 | 4,76 | 9,8 | 3,18 | 4,53 | 9,15 | |
| 3,59 | 5,59 | 12,3 | 3,26 | 4,74 | 9,55 | 3,07 | 4,35 | 8,5 | 2,96 | 4,12 | 7,85 | |
| 3,46 | 5,32 | 11,3 | 3,11 | 4,46 | 8,65 | 2,92 | 4,07 | 7,6 | 2,81 | 3,84 | 7,01 | |
| 3,36 | 5,12 | 10,6 | 3,01 | 4,26 | 8,02 | 2,81 | 3,86 | 7,0 | 2,69 | 3,63 | 6,42 | |
| 3,29 | 4,96 | 10,0 | 2,92 | 4,10 | 7,56 | 2,73 | 3,71 | 6,6 | 2,61 | 3,48 | 5,99 | |
| 3,23 | 4,84 | 9,7 | 2,86 | 3,98 | 7,20 | 2,66 | 3,59 | 6,2 | 2,54 | 3,36 | 5,67 | |
| 3,18 | 4,75 | 9,3 | 2,81 | 3,88 | 6,93 | 2,61 | 3,49 | 6,0 | 2,48 | 3,26 | 5,41 | |
| 3,14 | 4,67 | 9,1 | 2,76 | 3,80 | 6,70 | 2,56 | 3,41 | 5,7 | 2,43 | 3,18 | 5,20 | |
| 3,10 | 4,60 | 8,9 | 2,73 | 3,74 | 6,51 | 2,52 | 3,34 | 5,6 | 2,39 | 3,11 | 5,03 | |
| 3,07 | 4,54 | 8,7 | 2,70 | 3,68 | 6,36 | 2,49 | 3,29 | 5,4 | 2,36 | 3,06 | 4,89 | |
| 3,05 | 4,49 | 8,5 | 2,67 | 3,63 | 6,23 | 2,46 | 3,24 | 5,3 | 2,33 | 3,01 | 4,77 | |
| 3,03 | 4,45 | 8,4 | 2,64 | 3,59 | 6,11 | 2,44 | 3,20 | 5,2 | 2,31 | 2,96 | 4,67 | |
| 3,01 | 4,41 | 8,3 | 2,62 | 3,55 | 6,01 | 2,42 | 3,16 | 5,1 | 2,29 | 2,93 | 4,58 | |
| 2,99 | 4,38 | 8,2 | 2,61 | 3,52 | 5,93 | 2,40 | 3,13 | 5,0 | 2,27 | 2,90 | 4,50 | |
| 2,97 | 4,35 | 7,9 | 2,59 | 3,49 | 5,72 | 2,38 | 3,10 | 4,9 | 2,25 | 2,87 | 4,31 | |
| … | 4,32 | 8,0 | … | 3,47 | 5,78 | … | 3,07 | 4,9 | … | 2,84 | 4,37 | |
| 2,95 | 4,30 | 7,9 | 2,56 | 3,44 | 5,72 | 2,35 | 3,05 | 4,8 | 2,22 | 2,82 | 4,31 | |
| … | 4,28 | 7,9 | … | 3,42 | 5,66 | … | 3,03 | 4,8 | … | 2,80 | 4,26 | |
| 2,93 | 4,26 | 7,8 | 2,54 | 3,40 | 5,61 | 2,33 | 3,01 | 4,7 | 2,19 | 2,78 | 4,22 | |
| … | 4,24 | 7,8 | … | 3,38 | 5,57 | … | 2,99 | 4,7 | … | 2,76 | 4,18 | |
| 2,91 | 4,22 | 7,7 | 25,2 | 3,37 | 5,53 | 2,31 | 2,98 | 4,6 | 2,17 | 2,73 | 4,14 | |
| 2,88 | 4,17 | 7,56 | 2,49 | 3,32 | 5,39 | 2,28 | 2,92 | 4,5 | 2,14 | 2,69 | 4,02 | |
| 2,84 | 4,08 | 7,31 | 2,44 | 3,23 | 5,18 | 2,23 | 2,84 | 4,3 | 2,09 | 2,61 | 3,83 | |
| 2,79 | 4,00 | 7,08 | 2,39 | 3,15 | 4,98 | 2,18 | 2,76 | 4,1 | 2,04 | 2,53 | 3,65 | |
| 2,77 | 8,96 | 6,96 | 2,37 | 3,11 | 4,88 | 2,16 | 2,72 | 4,0 | 2,02 | 2,48 | 3,56 | |
| 2,76 | 3,94 | 6,90 | 2,36 | 3,09 | 4,82 | 2,14 | 2,70 | 3,98 | 2,00 | 2,46 | 3,51 | |
| ∞ | 2,71 | 3,84 | 6,63 | 2,30 | 3,00 | 4,61 | 2,08 | 2,60 | 3,78 | 1,94 | 2,37 | 3,32 |