Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 2 страница
Здесь 
– вероятность не появления рассматриваемого события.
Найдем 
:
Итак, 
Б) Будем искать дисперсию величины X по формуле
.
Учитывая, что 
, получим 
Остается найти 
. Напишем закон распределения 
, используя распределение
|
| 
| 
| 
| … | 
| … |
|
| 
| 
| … | 
| … |
Найдем :
Итак, 
.
Найдем искомую дисперсию:
№223 Воспользуемся результатами решения задачи 222 и получим, что искомое математическое ожидание равно: 
<подставим p> 
искомая дисперсия ищется по формуле, также полученной в предыдущей задаче: 
Т.к. вероятность отказа элемента в каждом номере равна 
(по условию), то 
№224 Доказать неравенство 
, где 
и 
– любые два возможных значения случайной величины 
.
Решение.
1) Допустим, что ( 
. Тогда
. (*)
2) Допустим, что 
. Докажем, что в этом случае
Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства математического ожидания:
.
Вычитая и прибавляя 
в правой части равенства, получим
. (**)
Объединяя (*) и (**), окончательно имеем
.
№225 Доказать, что если случайная величина имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные 
и 
, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:
.
Решение.
Воспользуемся неравенством 
. Докажем теперь, что
.
Очевидно, что из верности этого неравенства следует верность доказываемого. Преобразуем математическое ожидание: 
.
Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (т.к. b – наибольшее и a – наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:
.
Так как математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, то имеем
и .
№226 Доказать, что если 
– две независимые случайные величины, то:
Решение:
Докажем по формуле для вычисления дисперсии.
Учитывая, что – независимые величины и, следовательно, 
так же независимы и что математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим:
По определению дисперсии: 
Отсюда: 
Подставив 
, после упрощения окончательно имеем:
№227 Найти дисперсию дискретной случайной величины 
, распределённой по закону Пуассона:
|
| 
| 
| 
| … | 
| … |
| 
| 
| 
| … | 
| … |
Решение:
Воспользуемся формулой 
Так как 
(*)
Напишем распределение случайной величины , учитывая, что
вероятность того, что примет значение , равна вероятности
того, что примет значение к (это следует из того, что возможные
значения неотрицательны):
|
| 
| 
| 
| … | 
| … |
|
|
| 
| 
| … | 
| … |
Найдём математическое ожидание :
Учитывая, что при k=0 первый член суммы равен нулю, получим
= 
= 
=λ 
=λ[ 
+ 
].
Положив, что 
, имеем
[ 
+ 
].
Принимая во внимание, что
=e-λ 
= 
имеем 
(**)
Подставим (**) в (*):
Итак, дисперсия распределения Пуссона равна параметру 
.
№228 Дискретная случайная величина задана законом распределения:
|
|
| 
|
|
| 
| 
|
Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
Решение:
Найдём начальный элемент первого порядка:
.
Напишем закон распределения величины 
:
|
|
| 
|
|
|
|
|
Найдём начальный момент второго порядка:
.
Найдём закон распределения величины 
.
|
|
| 
|
|
|
|
|
Найдём начальный момент третьего порядка:
229 Дискретная случайная величина X задана законом
распределения:
|
|
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
Найти начальные моменты первого, второго и третьего
порядков.
Решение:
Найдём начальный элемент первого порядка:
Напишем закон распределения величины :
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
Найдём начальный момент второго порядка:
.
Найдём закон распределения величины X3.
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
Найдём начальный момент третьего порядка:
№230 Дискретная случайная величина X задана законом
распределения:
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
Найти центральные моменты первого, второго, третьего
и четвертого порядков.
Решение:
Центральный момент первого порядка равен нулю:
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться
формулами, выражающими центральные моменты через начальные,
поэтому предварительно найдем начальные моменты:
;
;
;
.
Найдем центральные моменты:
;
.
№231 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
|
|
|
|
|
| 
| 
|
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Центральный момент первого порядка равен нулю:
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться
формулами, выражающими центральные моменты через начальные,
поэтому предварительно найдем начальные моменты:
;
;
;
.
Найдем центральные моменты:
;
.
Саградов Арсен
№232. Доказать, что центральный момент второго порядка
(дисперсия) 
меньше обычного
момента второго порядка 
при любом 
Решение.
Для простоты записи введем обозначение М(Х)=т,
Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:
Математическое ожидание суммы равно сумме математических
ожиданий слагаемых, поэтому
.
Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи-
дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной 
равно самой постоянной и что по определению 
,
получим
Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения
X—m равно нулю, имеем
Отсюда
Из этого равенства заключаем, что центральный момент второго
порядка меньше обычного момента второго порядка при любом 
№233 Доказать, что центральный момент третьего порядка
связан с начальными моментами равенством
Решение. По определению центрального момента,
Используя свойства математического ожидания и учитывая, что
М(Х) есть постоянная величина, получим
*
По определению начального момента,
**
Подставив (**) в (*), окончательно получим
№235 Пусть 
—независимые
случайные величины, имеющие центральные моменты
третьего порядка, соответственно равные 
и 
. Доказать,
что 
, где 
—центральный момент третьего
порядка величины X.
Решение.
Введем для простоты записи следующие обозначения
математических ожиданий: 
Тогда
М (X) = M( 
+ 
) = М ( ) + М ( ) = 
По определению центральный момент третьего порядка,
Используя свойства математического ожидания (математическое
ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,
математическое ожидание произведения независимых величин равно
произведению математических ожиданий сомножителей), получим
Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разности
между случайной величиной и ее математическим ожиданием) равно
нулю, т. е. 
и 
, окончательно имеем
№236 Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.
Решение:
№237 Доказать неравенство Чебышева в форме .