Производная и дифференциал 2 страница
38. Производные высших порядков. Правила вычисления, правило Лейбница. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x). Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'. Например, если у = х5, то y'= 5x4, а y''= 20x4. Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x). Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))'. Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков. | 40. Дифференцирование параметрически заданных функций. | 41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y. Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому d2y=d(dy) =d[f'(x)dx)] = [f'(x)dx]'dx=f''(x)dx·dx=f''(x)(dx)2. Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2. Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала: d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3. Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y) dny=f(n)(x)dxn Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка: Неинвариантность дифференциалов высшего порядка При , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ(t). Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и : если — независимая переменная, то если и при этом, и С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше. |
42. Теорема Ферма | 43. Теорема Ролля | 44. Формула конечных приращений Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что . Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка. Механическое истолкование: Пусть f(t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f(b) − f(a) есть путь, пройденный с момента t = a до момента t = b, отношение — средняя скорость за этот промежуток. Доказательство Для функции одной переменной: Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю: что и требовалось доказать. |
45. Теорема Коши. Пусть даны две функции и такие, что: и определены и непрерывны на отрезке ; производные и конечны на интервале производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале ; тогда , где Доказательство Для доказательства введём функцию Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу. | 46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0 Точная формулировка Условия: или ; и дифференцируемы в проколотой окрестности ; в проколотой окрестности ; существует , тогда существует . Пределы также могут быть односторонними. Отношение бесконечно малых Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ). Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим: , но f(a) = g(a) = 0, поэтому . Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим: для конечного предела и для бесконечного, что является определением предела отношения функций. | 47. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности ∞/∞ Точная формулировка Условия: или ; и дифференцируемы в проколотой окрестности ; в проколотой окрестности ; существует , Докажем теорему для неопределённостей вида . Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие: . Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка : , что можно привести к следующему виду: . Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α: . Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному ε можно найти такое ε1, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A. Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то . В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда . |
48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Пусть -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.) Остаточный член в форме Пеано: В форме Пеано: при Доказательство. Утверждение теоремы означает, что существует При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел: Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз: | 51. Условия монотонности функции. | 52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно. x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если x0 называется точкой абсолютного минимума, если Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума. Далее теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции . Теорема 7.4 Если точка -- это точка локального экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки х0, и существует производная в этой точке , то . Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5). Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо 1) , либо 2) производная не существует. Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции . Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции. |