Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь основними методами: методом Гауса, за формулами Крамера

Мета роботи: навчитись розв’язувати системи лінійних рівнянь методами Крамера та Гауса.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки;

2. Індивідуальні завдання;

3. Обчислювальні засоби.

Теоретичні відомості про правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

Теорема. Якщо головний визначник складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

Задача 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера:

Теоретичні відомості про Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

Метод Гауса називають ще методом послідовного виключення невідомих. Він полягає в наступному: систему рівнянь приводять до рівносильної їй системі з трикутною матрицею ( системи називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають). Дані дії називаються прямим ходом. З одержаної системи невідомі знаходять за допомогою послідовних підстановок, які називають зворотнім ходом. При виконанні прямого ходу використовують наступні перетворення:

1. множення або ділення коефіцієнтів вільних членів на одне і теж число;

2. додавання або віднімання рівнянь;

3. перестановка рівнянь системи;

4. виключення з системи рівнянь, в яких всі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю.

Універсальність методу Гауса полягає в тому, що за допомогою нього можна розв’язати систему будь-якого порядку. Продемонструємо розв’язування системи лінійних рівнянь методом Гауса на загальному прикладі.

Розв’яжемо систему лінійних рівнянь:

(1)

Систему лінійних рівнянь (1) можна записати у вигляді розширеної матриці:

(2)

1) Прямий хід: розширену матрицю (2) шляхом послідовного виконання лінійних операцій над її рядками ( тобто послідовного виконання операції додавання до одного рядка матриці іншого, помноженого на певне число) приводять до вигляду:

(3)

2) Зворотній хід: від розширеної матриці (3) переходять до відповідної системи рівнянь:

(4)

Останнє рівняння системи (4) дає значення змінної підставляючи це значення в передостаннє рівняння знаходимо змінну продовжуючи цей процес, поступово знаходимо значення всіх невідомих.