Таблицы истинности логических функций

x1 x2 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
    Λ V ~ → ↓ | ⊕

 

Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ)

Конъюнкция (логическое умножение, И)

Равнозначность

Импликация

Функция Вебба (стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ)

Функция Шеффера (И-НЕ)

Функция сложения по модулю два (полусумматор)

Как можно представить логические функции с помощью электрических переключающих схем? Так как логические переменные могут иметь только два дискретных значения, то следует обратить внимание на схемы, которые могут находиться в двух легко различимых рабочих состояниях. Простейшим способом реализации логической переменной является ключ.

 

Можно условиться, что разомкнутый ключ эквивалентен логическому нулю, а замкнутый –логической единице. Таким образом, ключ реализует переменную х, если он замкнут при х = 1, и переменную , если он разомкнут при х = 1.

Рассмотрим сначала, какая логическая функция будет реализована, если два ключа и соединить последовательно.

 

Значение зависимой переменной у характеризуется тем, будет ли замкнута или разомкнута составная коммутируемая цепь, расположенная между входными клеммами. Очевидно, что рассматриваемая цепь будет замкнута только тогда, когда и замкнуты, т.е. равны единице. Таким образом, последовательное включение ключей реализует функцию И.

Функция ИЛИ может быть получена, если ключи включить параллельно.

С помощью такой схемной логики можно наглядно показать справедливость ранее приведенных теорем. Рассмотрим это на примере правила повторения.

На рис. показана реализация обеих частей выражения правила повторения с помощью коммутируемой цепи. Легко заметить, что рассматриваемое тождество выполняется, поскольку два включенных последовательно ключа, замыкание и размыкание которых происходит одновременно, воздействуют на внешние цепи как один такой ключ.

 

Другой возможностью представления логических переменных является электрическое напряжение, имеющее два различных уровня: высокий и низкий. Этим уровням можно поставить в соответствие логические состояния 1 и 0. Эта система обозначений: высокий = 1 и низкий = 0 – называется позитивной логикой. Но возможна также и обратная система обозначений: высокий = 0 и низкий = 1, которая называется негативной логикой.

Основные логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих электронных схем. Эти схемы имеют один или несколько входов и один выход. Как правило, они называются логическими элементами. Уровень выходного напряжения определяется уровнями напряжения на входах и характером логической функции. Для реализации одной и той же логической функции существует большое число различных электронных схем. Поэтому с целью упрощения документации были введены символы, которые обозначают лишь только логическую функцию и не раскрывают внутреннее строение схемы.

 

В цифровой технике задача, как правило, формулируется в форме таблицы переключений, которая называется также таблицей истинности. Прежде всего требуется найти такую логическую функцию, которая соответствовала бы этой таблице. На следующем этапе эту функцию преобразуют в простейшую форму, которую потом реализуют с помощью соответствующей комбинации базовых логических схем. Логические функции записывают, как правило, в дизъюнктивной совершенной нормальной форме (ДСНФ). При этом поступают следующим образом.

1. В таблице истинности выделяют строки, в которых выходная переменная у имеет значение 1.

2. Для каждой такой строки составляют конъюнкцию всех входных переменно причем записывают сомножитель , если рассматриваемая переменная принимает значение 1, в противном случае записывают . Таким образом, составляется столько произведений, сколько имеется строк с у = 1.

3. Наконец, записывая логическую сумму всех найденных произведений, получают искомую функцию.

 

Формулы склеивания:

Формулы поглощения:

 

Минимизация методом Карно

При минимизации методом Карно логическую функцию в виде карты. При размещении различных комбинаций значений входных переменных следует выбирать таким, чтобы при переходе от одной ячейки к соседней изменялась только одна переменная (используют код Грэя). Склеивание возможно, если одинаковые значения функции располагаются рядом.

Желательно образовывать контуры возможно большей протяженности. Контуры могут охватывать 1, 2, 4,8 и т.д. единиц (или нулей). В результате исчезает та переменная, которая меняет знак при обходе контура. При организации контуров следует считать, что карту можно навернуть на цилиндр.

Если обхватывать контурами единицы, то результат получим в ДСНФ, если нули – то в КСНФ (конъюнктивная совершенная нормальная форма).

f

2-х разрядная карта Карно

 

Результат:

 


Элементарная база цифровых микросхем. Логические элементы И, ИЛИ, НЕ на диодах, биполярных и полевых транзисторах. Базовые логические элементы диодно-транзисторной, транзисторно-транзисторной, эмиттерно-связанной логики. Логические элементы на однотипных и комплементарных МДП-транзисторах. Логические элементы с тремя выходными состояниями. Микросхемы с открытым коллектором. Совместное применение микросхем разных серий.

 

 

Эволюция цифровой логики:

1) РТЛ – резисторно-транзисторная логика.

2) ДТЛ – диодно-транзисторная логика.

3) ТТЛ –транзисторно-транзисторная логика.