Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервал выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Рассмотрим схему исследования функций на следующем примере.

Пример 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х1 = –2 и х2 = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х2 – 4 = 0).

2) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

3) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х1 = –2 и х2 = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

4) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

5) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и fmах(x)= = – 1.

На интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

функция возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает у

6) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

 
 


На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

функция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

7) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

8) На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

 

 

 

-2 2 х

-1

 

В.10. Дифференциал функции

Определение дифференциала

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Î Х. Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать , где – БМВ при Dx®0.

Откуда .

Т.о. приращение функции Dy состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно Dx; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем Dx)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dx часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной (1)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Dx

(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: ).

Поэтому формулу (1) можно записать в виде (2)

=> (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).

Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6х2 – 3.

Решение. Вычислим производную данной функции у¢ = 12х и подставим в формулу (2): .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение Dx.

На рисунке dy = KN, Dy = M1N.

dy < Dy dy > Dy

Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):

1. dС = 0.

2. d(Сu) = Сdu.

3. d(u ± v) =du ± dv.

4. d(uv) = vdu + udv.

5. .

6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию .

Тогда ,

т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.

10.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Из изложенного выше следует, что . Поэтому при достаточно малых значениях Dx Dу» dy или . Откуда

(3)

Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg460.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) =(tgx)’ = . Тогда . Учитывая, что tg460 = tg(450 + 10) = tg , возьмем х = и Δх = .

Тогда tg460 = tg .

Пример 11. Вычислить приближенно ,

Решение .Приближенная формула для вычисления корней n -й степени :

, поэтому

Возьмем x =16; Dx =0,64 ;