Методика усвоения одного из алгоритмов письменных вычислений (на примере письменного умножения или деления)

1. В начальных классах рассматривается алгоритм письменного сложения (со второго концентра), письменного вычитания (со второго концентра), письменного умножения ( с третьего концентра), и письменного деления (с третьего концентра).

Таблица 1: виды алгоритмов письменного умножения

умножение на однозначное число умножение на многозначное число
умножение на разрядное число умножение на двузначное число умножение на трехзначное число

 

деление на однозначное число деление на многозначное число
*деление на разрядное число **деление на двузначное число **деление на трехзначное число

* может не выделяться как особый вид алгоритма

** может рассматриваться совместно

Замечания: в каждом виде алгоритма особо выделяются частные случаи, как правило случаи с нулями.

Рассмотрим умножение на трехзначное число.

Общий случай: 627*453

Частный случай: 627*403 627*450 62700*453 627*8426

2. Этапы формирования навыков письменных вычислений:

В соответствии с теорией формирования вычислительных умений и навыков ( Бантова М.А.) в методике формирования навыков письменных вычислений можно выделить 3 этапа:

1. подготовка к введению алгоритма

2. введение алгоритма

3. усвоение алгоритма и формирование навыка

 

Следует отметить, что этап введения алгоритма может быть представлен целой системой уроков, на которых рассматриваются отдельные частные алгоритмы. Только в завершении всех их у учащихся формируется общий алгоритм.

Пример: рассмотрим порядок введения алгоритма на однозначное число (традиционная программа):

3 концентр 4 концентр
деление разрядных единиц без остатка 864:2 деление, когда разрядная единица не делится нацело 861:3 деление с дополнительными шагами (нахождение первого неполного делимого и количества цифр в частном 174:3 деление с остатком 176:3 введение общего алгоритма деления 2745:5 частный случай деления с нулем в конце делимого и частного 27500:5 частный случай деления с нулем в середине частного 21364:7
             

Рассмотрим содержание и задачи каждого из этапов. В качестве примера будем рассматривать алгоритм письменного умножения на разрядное число (83*70)

1 этап: подготовка к введению алгоритма:

задачи, содержание, методика пример
на этом этапе: а) усваиваются все действия (элементарные операции), из которых состоит алгоритм   б) усваиваются теоретические основы алгоритма а) 83*70= 83*(7*10)= (83*7)*10=581*10=5810 1) 70=7*10 умение заменить разрядное число произведением однозначного числа и разрядной единицы 2) 83*7=581 умение умножить на однозначное число письменно 3) 581*10= 5810 умение увеличивать число в 10, 100, 1000 раз; б) теоретической основой является сочетательное свойство умножения

2 этап: введение алгоритма

На этом этапе выделяются все операции, из которых состоит алгоритм, вводится способ записи алгоритма, дается словесная формулировка алгоритма.

Выделяют следующие шаги:

a. целеполагание

b. выделение операций (действий) в алгоритме.

Для этого обычно предлагается найти результат действия, опираясь на устный прием вычисления.

У: объясните решение примера 83*70

Д: 83*70= 83*(7*10)= (83*7)*10=581*10=5810

У: какие действия вы выполнили, чтобы решить пример?

Д: 70=7*10 83*7=581 581*10=810

У: какое свойство использовали?

Д: сочетательное свойство умножения

c. выделение письменного алгоритма – запись и выполнение всех шагов и словесная формулировка алгоритма.

Пример:

У: можно ли вычисления записать короче?

Д: да, в столбик

У: Маша предложила такую запись, а Миша такую:

83 83

*70 * 70

У: кто сумеет объяснить, почему так написали?

Д: десятки под десятками, единицы под единицами (Маша), Миша – неправильно.

У: как думал Миша? Давайте поставим вопрос. Кто может, опираясь на одну из записей, объяснить все шаги решения. Какая запись оказалась удобнее? Как бы вы записали 83*700?

У: а теперь попробуйте составить умножение на разрядное число.

Д: 1 шаг: записываю так, чтобы: а) первая отличная от нуля цифра первого множителя оказалась над первой отличной от нуля цифрой второго множителя: б) второй множитель под первым так, чтобы нули оказались в стороне

2 шаг: мысленно отбрасываем нули второго множителя и умножаю получившиеся числа

3 шаг: дописываю к полученному произведению столько нулей, сколько нулей в конце второго множителя.

 

d. первичное закрепление: решаются аналогичные примеры с комментированием

 

3 этап: усвоение алгоритма и формирование навыка – идет свертывание – проговаривание.

Рассмотрим частные случаи (например с нулями).

Формируется КОД детей, увеличивается самостоятельная деятельность детей и реализуется индивидуально-дифференцированный подход. Предлагаются различные виды творческих заданий и многоцелевые задания. Например: найди значение выражения 1245*30 + 7465*30

Показателями полноценно сформированного навыка: правильность, автоматизм, осознанность, рациональность, обобщенность, прочность.

 

Понятие арифметической задачи. Роль задач в начальном курсе математики. Основные этапы работы над задачами и их содержание.

Под задачей в широком смысле понимается цель, заданная в определенных условиях (автор Леонтьев А. А.).

В зависимости от содержания и способов достижения цели, задачи делятся на:

Ø арифметические

Ø алгебраические

Ø геометрические

Ø логические

Ø комбинаторные и т. д.

Основное внимание уделяется арифметическим задачам.

Арифметическая задача – это связный лаконичный текст, в который включены числовые значения некоторых величин, указаны связи и отношения между ними и требуется отыскать другие зависящие от них значения величин (Свечников).

Числовые значения, которые даны в задаче, называются данными, а другие, которые требуется найти, - искомыми. Та часть задачи, которая содержит данные, называется условием. Та часть задачи, в которой указывается на неизвестное число (искомое), всегда может быть сформулирована в виде вопроса и называется вопросом задачи.

Признаки задачи:

1. Наличие условия.

2. Данных.

3. Искомого.

4. Вопроса (не всегда явно видно).

5. Связи между данным и искомым.

6. Необходимость выполнения действий для ответа на вопрос задачи.

Структура задачи:

Можно выделить две части: условие и вопрос.

Задача м.б. как тривиальной (обычной) – У, В; так и нетривиальной структуры – У, В, У; В, У…(Аргинская).

 

Роль задачи:

В учебниках нач. шк. представлено много арифметических задач. Такое внимание к задачам обусловлено многофункциональной направленностью задач. Функции:

1. Образовательная:

A. На арифметических задачах дети знакомятся с некоторыми математическими понятиями и отношениями (К.С. деления)

B. Служат средством закрепления и применения математических понятий и отношений (в 3 раза больше, связь между ценой, количеством и стоимостью).

C. В процессе решения задачи у учащихся формируются умения, необходимые для решения любой задачи (умение выделять данные, искомое, подбирать модель)

D. В сюжете находит отражение практическая ситуация, имеющая место в реальной жизни. Это помогает ребенку осознать реальные, количественные отношения между величинами и расширить представления о действительности.

2. Развивающая:

A. Мышление: умение анализировать текст, сравнивать, классифицировать, строить умозаключение, планировать свои действия. контролировать и проверять их.

B. Математические способности.

C. Память, внимание и воля.

3. Воспитательная:

A. Формируется интерес к математике, познавательный интерес.

B. Самооценка.

C. Умение сотрудничать.

D. Объективность оценивания.

 

Ряд авторов (Истомина, Белошистая) особо выделяют роль задач в развитии действия моделирования.

Этапы работы над задачей:

1.Анализ содержания задач (чтение, выделение условия и вопроса, данного и искомого, сюжета, моделирования задачи, возможна прикидка ответа).

2.Поиск решения задачи (простая задача: выбор действия и его обоснование). Устанавливаются связи между данным и искомым. Эти связи могут устанавливаться на основе двух видах рассуждений: от данных (с помощью вопроса учителя выделяются два данных, по которым можно что-либо найти) и от вопроса. Возможен и комбинированный способ.

3.Составление плана решения задачи (для простой задачи отсутствует). На этом этапе выделяется система а.д., выполнение которых приведет к нахождению неизвестного числа. План бывает кратким (что найдем 1м действием) и развернутым (+ как? и каким действием?).

4.Запись решения.

Ø По действиям (без пояснения, с письменным пояснением, с вопросом)

Ø Выражением

Запись ответа.

5.Проверка решения задач.

Виды проверки:

1) Установление границ ответа (прикидка). Начинает выполняться на первом этапе, после решения к ней возвращаемся.

2) Установление соответствия между полученным числом и данными задачи (подстановка). Вариант: Пояснение смысла составленных по задаче выражений.

3) Решение задачи другим арифметическим способом (отличие хотя бы одного действия).

4) Решение задачи другим методом:

а) арифметическим (действия и выражения);

б) алгебраическим (уравнение)

в) графическим (чертеж)

г) подбором

д) практическое действие

е) с помощью рисунка

5) Составление решения обратной задачи.

Памятка: 1. Искомое буду считать известным.

2. Одно из данных буду считать искомым.

6. Работа над решенной задачей.

Ø Преобразование задачи

Ø Составление или подбор похожей задачи

Ø Постановка доп. вопросов к задаче

Ø Анализ (исследование) решения: как надо изменить данные, чтобы в ответе получилось большее число?

Ø Сравнение с другой задачей