Формула Ньютона – Лейбніца

Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл , є формула Ньютона – Лейбніца: ,

тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межах інтегрування.

Метод підстановки у визначеному інтегралі.

1. Метод підстановки у визначеному інтегралі дає можливість звести інтегрування складеної функції до інтегрування табличної функції. Метод підстановки опирається на формулу диференціювання складеної функції.

2. Метод підстановки у визначеному інтегралі відрізняється від методу підстановки у невизначеному тим, що ми після обчислення інтегралу не повертаємось до старої змінної інтегрування, оскільки змінюємо межі інтегрування.

Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

1. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі базується на формулі похідної добутку:

2. Для інтегрування виразів виду:

,

де Р(х) – многочлен u слід приймати многочлен, що допоможе знизити його степінь.

Для інтегралів виду доцільно за u приймати функції arcсosx, arcsinx та lnx, а за dv вираз Р(х).

Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли:

а) ; б) в)

 

                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           

а) б) в)

                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           

Питання для самоконтролю знань, умінь

1. Пояснити зміст визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

2. Властивості визначеного інтегралу:

· інтеграл суми функцій;

· винесення коефіцієнта за знак інтеграла;

· похідна від інтеграла;

· інтеграл, взятий на участках одного проміжку.

3. Формула для обчислення площ плоских фігур, часткові випадки.

4. Суть методу заміни змінної у визначеному інтегралі;

5. Чим відрізняється метод заміни змінної у визначеному інтегралі від цього ж методу у невизначеному ?

6. Суть методу інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

7. Випадки застосування методу інтегрування частинами в запропонованих інтегралах:

 

Висновок. _________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Перевірив викладач ___________ Оцінка ___________ Дата___________

Виконаємо самостійно

В - 1 В - 2

 

1. Обчислити визначені інтеграли методом безпосереднього інтегрування.

а) а)

б) б)

2. Обчислити визначені інтеграли способом заміни змінної.

а) а)

б) б)

3. Обчислити визначені інтеграли частинами.

 

 

В - 3 В - 4

 

1. Обчислити визначені інтеграли методом безпосереднього інтегрування.

 

а) а)

б) б)

 

2. Обчислити визначені інтеграли способом заміни змінної.

 

а) а)

б) б)

 

3. Обчислити визначені інтеграли частинами.

 

 

В - 5 В – 6

 

1. Обчислити визначені інтеграли методом безпосереднього інтегрування.

а) а)

б) б)

2. Обчислити визначені інтеграли способом заміни змінної.

 

а) а)

б) б)

3. Обчислити визначені інтеграли частинами.

 

В - 7 В - 8

 

1. Обчислити визначені інтеграли методом безпосереднього інтегрування.

а) а)

б) б)

 

2. Обчислити визначені інтеграли способом заміни змінної.

а) а)

б) б)

 

3. Обчислити визначені інтеграли частинами.

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 15