Погрешности компонентов аналитических зависимостей
Тема 4 Таксация древесных стволов и их частей
Определение объема стволовой древесины по аналитическим зависимостям
Погрешности расчетов объема стволовой древесины по аналитическим зависимостям
Погрешности компонентов аналитических зависимостей
Существуют физические (ксилометрический и весовой) и математические способы определения объема древесной массы.
Ксилометрический способ основан на измерении объема воды, вытесненной погруженной в ксилометр древесиной, весовой – на определении массы древесины по массе единицы ее объема.
Математические способы основаны на использовании аналитических моделей образующей древесного ствола или его частей, построенных на основе сходства ее с стереометрическими телами вращения и которые наиболее приемлемы в лесотаксационной практике.
Способы определения объемов древесных стволов и их частей. По диаметрам на разных высотах ствола могут быть найдены площади поперечных сечений древесных стволов по следующей формуле:
g = А + Вх + Сх2 + Dx3, где
g - площадь поперечного сечения ствола
с диаметром d, g=0,785 d2 • 0,00001;
х - расстояние от шейки корня до рассматриваемого сечения;
А, В, С, D - некоторые постоянные коэффициенты.
Определив площади поперечных сечений стволов, находим объем ствола или его части V. Его рассматривают как сумму бесконечно тонких поперечных отрезков, имеющих высоту dx и площадь основания g. Соответственно этому объем равен: 
. Подставив вместо g его значения, определяемые по кубической параболе, получаем:
.
Для нахождения коэффициентов А, В, С и D решают уравнения, определяющие изменение площади поперечных сечений ствола. Размер площадей сечений изменяется в зависимости от расстояния по стволу по формуле:
Проведя интегрирование, получают объем древесного ствола в следующем виде: 
или 
Этот способ наиболее полно учитывает объем ствола. На такой же основе разработаны разнообразные способы определения объема стволов в зависимости от того, сколько сечений ствола (и их площадей) используются для нахождения объема.
Если учитываются значения площади сечения на шейке корня ( 
) и на любом другом отрезке длины ствола ( 
), то используя найденные значения коэффициентов и длину ствола L, получаем: 
.
Эта формула в лесной таксации называется простой формулой Смалиана.
Если взять вместо полусуммы величин сечений поперечное сечение на половине ствола, тогда формула примет следующий вид: V = ·L.
Это соотношение называется формулой определения объема ствола по величине срединного сечения, или формулой объема цилиндра. Впервые она была применена немецким лесоводом Губером. В связи с этим ее называют простой формулой Губера.
Если используется значение площади поперечного сечения на 1/3 высоты ствола, а второе - в верхней части, то определение объема ствола проводится по соотношению:.
.
Эта формула называется формулой Госфельда.
Для целых стволов (хлыстов), у которых площадь поперечного сечения в верхнем конце равна нулю, формула Госфельда будет иметь такой вид:
.
При использовании только площади сечения на середине длины (), получим: 
Такую формулу первым применил немецкий лесовод Рикке. В связи с этим ее и называют ее простой формулой Ньютона — Рикке.
При использовании приведенных формул для определения объема древесный ствола или его части ствол приравнивают к правильному геометрическому телу - параболоиду, поскольку для образующей древесного ствола взято уравнение кубической параболы.
Практически по приведенным соотношениям объем древесных стволов или их частей определяется с некоторой степенью приближения. Поэтому необходимо знать погрешности вычисления объема ствола.
Наиболее точное вычисление объема ствола происходит при расделении его на некоторое количество частей и нахождении объема ствола как суммы объемов этих частей, т.е. 
.
Например, ствол, как правило, делится на отрезки длиной 2 м, если его длина равна 14 и более метров. При меньшей длине ствола отрезки берут длиной 1 или 0,5 м. Необходимо чтобы количество отрезков было не менее 7-10 штук.
Рассмотрим способы определения объема ствола путем деления его длины (L) на «n» равных отрезков длиной на основе рассмотренных выше соотношений.
Площади сечений каждого отрезка обозначим как g1, g2 … gn. Объем каждого отрезка определится как 
. Общий объем будет равен:
Объем вершины определяется как объем конуса, т.е. 
.
Эта формула называется сложной формулой Смалиана.
Наиболее часто в практике научных исследований применяют сложную формулу Губера или срединных сечений.
Обозначив площади сечений середины отрезков через имеем:
V = 11 +2l + nl = l (1 + 2 + … + n).
При определении объемов отдельных отрезков по сложнойформуле Госфельда, учитывающей сечение на 1/3 длины отрезка и в верхнем отрезке, общий объем ствола будет равен
В этой формуле сечения на одной трети отрезков 
обозначены через 
, 
, 
и т. д. Преобразовав эту формулу, получим:
.
При двухметровой длине отрезков при определении объема ствола по формуле Госфельда необходимо измерить диаметры в верхнем сечении каждого отрезка и на 0,67 м от их нижних сечений. В результате преобразований получена следующая формула:
.
При определении объемов отдельных отрезков по сложной формуле Ньютона - Рикке общий объем ствола будет равен
После соответствующих преобразований формула примет такой вид:
,
где
g – площади сечения на четных разрезах ствола;
– площади сечения на нечетных разрезах ствола.
Этот вид уравнения называется формулой Симпсона.
Если ствол разделить на десять отрезков (по методике проф. В. К. Захарова), то объем ствола определяется по соотношению:
,
где Н – длина ствола,
g0, g1, …, g10 – площади сечения на 0,0; 0,1;, …; 1,0 высоты ствола, 
Погрешности расчетов объема стволовой древесины по аналитическим зависимостям. Величины объемов ствола, определяемые ксилометрическим способом, являются наиболее точными. Поэтому принято сравнивать расчетные величины объемов с объемом, найденным ксилометрическим способом, а выявленные расхождения выражать в процентах отклонений
Например, определение объемов дубовых стволов по простой формуле Смалиана дает систематическое преувеличение в среднем на 65%, а по простой формуле Симпсона на 23%. Причиной этого являются корневые наплывы, площадь сечения которых учитывается этими соотношениями (по данным исследований кафедры таксации Воронежского лесохозяйственного института).
Вычисление объемов целых стволов (хлыстов) по простой формуле Губера и Госфельда давало ошибки, как в сторону преуменьшения, так и преувеличения от 8 до 12%.
Американскими исследователями установлено, что определение объема стволов с длиной до 5 м по способу Смалиана систематически завышалось, а по способу Губера – занижалось (ошибка в пределах 10-15%).
Определение же объема более коротких стволов в пределах 1-2м как по формуле Смалиана, так и по формуле Губера давало более низкую ошибку – 6-10%, (США, Янг Г).
Результаты сопоставления вычисленных объемов по сложным формулам и найденным ксилометрическим путем, проведенные в Московской сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева показывают, что все четыре формулы дают близкие результаты. Формулы Симпсона и Смалиана дают отклонения с положительным знаком, две другие - с отрицательным.
Объемы, вычисленные по формуле Госфельда и Губера, показывают преуменьшение, что является свойством этих двух формул.
Расхождения в результатах исчисления объемов по всем четырем формулам лежат в пределах 2 %.
Отклонения в объемах, вычисленных по сложным формулам
(данные ТСХА им. К. А. Тимирязева)
| Формула | Отклонение объемов стволов, % | |||
| березы 17 шт | сосны 15 шт | дуба 3 шт | ||
| Губера | -0,9 | -1,2 | +1,9 | |
| Смалиана | +0,8 | -0,3 | +0,2 | |
| Симпсона | +0,3 | -0,2 | +0,8 | |
| Госфельда | -0,3 | -0,6 | -0,6 | |
Таким образом, результаты определения объемов по всем четырем формулам следует признать равноценными.
Наиболее часто применяется формула срединного сечения. Она крайне проста, вычисления по ней производить легко, результаты получаются удовлетворительные. В обычных условиях, когда видовое число близко к 0,50, объем большого количества стволов определяется с ошибкой меньшей ±4%, с тенденцией к занижению его значений (-1-2%).
Погрешности измерений компонентов аналитических зависимостей определения объема.
При измерении параметров стволов, участвующих в определении объема деревьев неизбежны ошибки, обусловливающие погрешности последующих расчетов.
Например, ошибка в измерении диаметра влечет за собой равные погрешности определения объема и площади сечения;
, где
d – погрешность определения диаметра;
D – измеряемый диаметр.
Из теории ошибок известно, что относительная ошибка в процентах в объеме стереометрических тел определяется по соотношению:
,
а при многочисленных измерениях средняя величина этой ошибки определяется по формуле: 
.
Эти ошибки по свидетельству немецкого профессора М. Продан носят всеобщий характер и возникают в следствии:
· ошибок перечета, так называемых ошибок наблюдения;
· ошибок из-за неправильной формы поперечного сечения стволов;
· ошибок, порождаемых неравномерным распределением деревьев в пределах ступеней толщины;
· ошибок округления.
Ошибки перечета связаны с дефектами мерной вилки. Они могут быть самой различной величины. Ошибки наблюдения возникают от неправильного положения вилки при перечете и субъективных ошибок (обмера одного дерева 2 раза или его пропуска). При тщательном перечете, по мнению М. Продана, ошибки наблюдения достигают 0,3 % по площади сечения.
Ошибки из-за неправильной формы ствола составляют ±0,5 % по площади сечения.
Ошибки, порождаемые неравномерным распределением деревьев в пределах ступеней толщины, зависят от характера распределения деревьев в данной ступени, составляют – в более мелких ступенях толщины ±0,1- 0,3 %, в более крупных ±0,03-0,8 % от площади сечения деревьев, входящих в эту ступень.
Ошибки округления колеблются от - 1,5% до +1 %.