Геометрический смысл понятия предела последовательности

Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<e равносильно следующему A- e < x_n < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a} является бесконечно малой.

Если последовательность {xn→a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так: limn→∞xn=a или xn→a при n→∞

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣<ε
При этом число a называется пределом последовательности.

Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<xn−a<+ε или, a−ε<xn<a+ε . (5')

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки a находятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера (зависящего от ε).

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an−bn=b−a . Последовательность {an−bn} является бесконечно малой, а в силу равенства an−bn=b−a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числу b−a . Число b−a равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε, и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε при n≥N или, a−ε<xn<a+ε при n≥N . Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣ ∣ x1∣ ∣ ,∣ ∣ x2∣ ∣ ,...,∣ ∣ хN−1∣ ∣ . Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1, ... является ограниченной, но не является сходящейся.

В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей {xn+1−a} и {xn−a} являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей {xn+1−xn} а этого быть не может в силу того, что ∣ ∣ xn+1−xn∣ ∣ =1 для всех номеров n.

Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>N элемент an последовательности удовлетворяет неравенству ∣an∣<ε .

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения
xn=a+an,yn=b+bn, (6),
в которых anи bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an}и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)−(a−b)=an+bn . (7)

Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn}

Доказательствоэтой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn−yn)−(a−b)=an−bn .

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим
xn·yn=a·b+abn+ban+an·bn или, xnyn−a·b=abn+ban+an·bn (8)

Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn} последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и b соответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем
рассматривать частное {ynxn} . В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn−ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn−ba=yn·bxn·b−yn·a (9)

Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то

n·b−yn·a=(a+an)·bn−(b+bn)·an=anb−bna

Подставляя (10) в (9), получим ynxn−ba=1yn(an−babn) (11)

Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn} (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an−babn} (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.

Теорема Вейерштрасса.

Теорема. Если {x_n} - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если {x_n} - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство не требуется

Число е.

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n₊₁ и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n₊₁ больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n₊₁ добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

3)Б.б.п.: определение, геометрическая интерпретация, свойства

а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если "M>0 $NÎℕ такое, что

| x_n | >M , "n>N.

б) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если {x_n} – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой e-окрестности точки ¥ находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа.

в) СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1) Если {x_n} – б.б., то последовательность {1/x_n} – б.м.

Если последовательность {a_n} – б.м, то {1/a_n} – б.б.

(связь бесконечно больших и бесконечно малых)

2) Если {x_n} и {y_n} – б.б. последовательности одного знака, то их сумма { x_n + y_n } – б.б. того же знака.

3) Если {x_n} – б.б., а {y_n} – ограниченна, то их сумма {x_n + y_n} – б.б. последовательность.

4) Если {x_n} и {y_n} – б.б., то их произведение {x_n × y_n} – б.б. последовательность.

5) Если {x_n} – б.б., {y_n} – сходящаяся, причем

то их произведение {x_n × y_n} – б.б. последовательность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {x_n} называют отделимой от нуля, если существуют число K > 0 и номер N такие, что | x_n | >K , "n>N.

6) Если {x_n} – ограниченная и отделимая от нуля, {y_n} – б.б., то их произведение {x_n × y_n} – б.б. последовательность.

7) Если последовательность {x_n} – б.б. и для любого nÎℕ имеет место неравенство

| x_n | < | y_n | (| x_n | £ | y_n |),

то последовательность {y_n} тоже является б.б.

8) Пусть {x_n} и {y_n} – б.б. одного знака и для любого nÎℕ имеет место неравенство x_n £ z_n £ y_n .

Тогда последовательность {z_n} тоже является б.б. того же знака.

(лемма о двух милиционерах для б.б. последовательностей)

4.) Предел функции (определение по Коши, по Гейне, их эквивалентность) Свойства пределов.