Предельная склонность к потреблению Инвестирование. Выбытие капитала и норма сбережения. Устойчивый уровень фондовооруженности. Понятие «Золотого правила»
Производственная функция. Предельный продукт труда и капитала. Эластичность отдачи производственных ресурсов. Функция Кобба-Дугласа.
Рассмотрим обычную производственную функцию, описывающую зависимость дохода и затрат:
.
Допустим, что функция однородна в первой степени, или обладает свойством постоянной отдачи от масштаба:
.
Обозначим:
y=Y/L – выпуск продукции на одного работника (производительность);
k=K/L – капитал (фонды), приходящиеся на одного работника (фондовооруженность).
Рассмотрим взаимосвязь производительности и фондовооруженности:
.
(очевидно, z=1/L).
Тогда производственную функцию можно переписать следующим образом:
где 
.
Рассмотрим ее график:
Тангенс угла наклона данной производственной функции показывает, сколько дополнительного продукта на одного работника можно получить, если увеличить фондовооруженность на одну единицу. Эта величина является предельным продуктом капитала МРК. Формально можно записать:
По мере возрастания k наклон графика уменьшается, что отражает посылку о снижении предельной производительности.
Функция Солоу развивает и дополняет известную макроэкономическую функцию Кобба-Дугласа, в которой увязывались доход и отдача труда и капитала. Появление этой функции, в свою очередь, было связано с устойчивостью долей капитала и труда в национальном доходе. Форма первоначальной записи функции Кобба-Дугласа: 
показывает, что функция однородна в первой степени, т.е. имеет постоянную отдачу от изменений количества затрачиваемых ресурсов. При этом использовался следующий её вид: 
, где А – неидентифицируемые факторы, а α и β – показатели эластичности отдачи соответствующих ресурсов. Соответственно, если α+β=1, имеет место постоянная эффективность, α+β>1– растущая эффективность, α+β<1 – падающая эффективность.
Предельная склонность к потреблению Инвестирование. Выбытие капитала и норма сбережения. Устойчивый уровень фондовооруженности. Понятие «Золотого правила».
Продукция, произведенная каждым работником, делится между потреблением, приходящимся на одного работника, и инвестициями в расчете на одного работника.
В модели Солоу предполагается, что функция потребления имеет следующую форму:
,
где норма сбереженияs принимает значения от 0 до1.
Подставляя значение функции потребления в предыдущее выражение, получаем:
.
Отсюда инвестиции, как и потребление, изменяются прямо пропорционально доходу:
Но если инвестиции равны сбережениям, то норма сбережений S также показывает, какая часть произведенной продукции направляется на капитальные вложения.
Представив две главные составляющие модели Солоу – производственную функцию и функцию потребления – можно проанализировать, как накопление обеспечивает экономический рост. Запасы капитала могут изменяться по двум причинам:
1) инвестиции приводят к росту запасов капитала;
2) часть капитала изнашивается, что приводит к уменьшению запасов капитала.
Для того чтобы понять, как изменяются запасы капитала, необходимо найти факторы, определяющие величину инвестиций и выбытия капитала.
Инвестиции в расчете на одного работника являются частью продукта, приходящегося на одного работника (другими словами, фондовооруженность – это часть производительности) – sy. Заменив y на выражение производственной функции, представим инвестиции на одного работника как функцию от фондовооруженности:
Чем выше уровень фондовооруженности k, тем выше объем производства f(k) и больше инвестиции i:
Норма сбережений (S) определяет деление произведенного продукта y на потребление (c) и инвестиции (i). Для любого уровня капиталовооруженности k объем производства есть f(k), инвестиции равны s×f(k), а потребление f(k)-s×f(k).
Чтобы учесть в модели выбытие капитала, предположим, что ежегодно выбывает определенная доля капитала s. Назовем s нормой выбытия.
Ежегодно выбывает определенная фиксированная часть капитала, поэтому выбытие пропорционально запасам капитала.
Влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала можно выразить с помощью следующего уравнения:
где Dk – изменение запасов капитала, приходящихся на одного работника в год.
Поскольку инвестиции равны сбережениям, изменение запасов капитала можно записать следующим образом:
Поскольку норма сбережений S постоянна, и сбережения равны инвестициям, объем инвестиций равен s×f(k). Поскольку капитал выбывает с постоянной скоростью s, то объем выбытия есть s×k.
Устойчивый уровень k* -это такая фондовооруженность работников, при которой инвестиции равны выбытию, в точке k* обе кривые пересекаются. При k>k* инвестиции меньше выбытия, и запасы капитала уменьшаются; при k<k* инвестиции превышают выбытие, и запасы капитала растут.
Устойчивый уровень фондовооруженности соответствует равновесию экономики в долгосрочном плане. Независимо от первоначального объема капитала, с которым экономика начинает развиваться, она затем достигает устойчивого состояния.
Рост нормы сбережений S показывает, что размер инвестиций при любых уровнях капиталовооруженности станет больше. В точке прежнего устойчивого состояния инвестиции теперь превосходят выбытие. Запасы капитала растут, пока экономика не достигнет нового устойчивого состояния – с большей капиталовооруженностью и прибыльностью.
Модель Солоу показывает, что норма сбережений является ключевым фактором, определяющим величину устойчивой фондовооруженности. Если норма сбережений более высока, то экономика будет иметь при прочих равных условиях больший запас капитала и более высокий уровень производства.
Уровень накопления капитала, обеспечивающий устойчивое состояние с наивысшим уровнем потребления, называется Золотым уровнем накопления капитала. Будем обозначать его как k**.
Чтобы найти потребление в устойчивом состоянии, начнем с тождества национальных счетов:
, следовательно 
.
В устойчивом состоянии y=f(k*), i=s∙k*. Тогда:
c*=f(k*)-s·k*,
то есть устойчивый уровень потребления есть разница между выпуском и выбытием капитала в устойчивом состоянии.
Отсюда, растущая фондовооружённость двояко воздействует на величину потребления: она способствует росту выпуска продукции, но в то же время все большее количество продукции требуется для возмещения выбытия капитала.
Золотое правило можно представить как равенство МРК=s, то есть предельный продукт капитала равен норме выбытия. Предельный продукт капитала равен МРК=f(k*+1)-f(k*), прирост выбытия на единицу фондовооруженности равен s, так как она является константой. Отсюда, если МРК>s, то существует возможность увеличить потребление; если же МРК<s, это приводит к тому, что весь предельный продукт уходит на возмещение выбытия капитала, и требуется еще.
1. Экономика начинает развиваться с запасом капитала большим, чем она могла бы иметь по Золотому правилу. В этом случае необходимо проводить политику, направленную на снижение нормы сбережений для того, чтобы уменьшить устойчивый уровень запаса капитала. 
2. Экономика начинает развиваться с меньшей фондовооруженностью, чем при устойчивом состоянии по Золотому правилу. В этом случае необходимо увеличить норму сбережений, чтобы достичь точки, соответствующей Золотому правилу:
