Рост населения и технический прогресс. «Остаток Солоу». Расчеты экономического роста с помощью функции Солоу
Вместо того, чтобы считать население постоянным, предположим, что население и рабочая сила растут с постоянным темпом прироста n. Изменение запасов капитала, приходящегося на 1-го работника, составит:
Составляющую 
можно рассматривать как критическую величину инвестиций, т.е. инвестиции, необходимые для поддержания запаса капитала, приходящегося на 1 работника, на постоянном уровне.
Если экономика достигла состояния устойчивости, инвестиции имеют две цели и две составляющие: во-первых, замена изнашиваемого капитала 
а во-вторых, обеспечение новых рабочих капиталом на уровне установившегося состояния 
Рост населения дополняет исходную модель Солоу по трем направлениям:
1. Он позволит приблизиться к объяснению причин экономического роста. В устойчивом состоянии экономики при растущем населении и выпуск продукции на 1-го работника, и объем капитала на 1-го работника остаются неизменными, но поскольку число работников растет с темпом прироста n, капитал и объем производства тоже растут с темпом прироста n. Рост населения не может объяснить длительного роста уровня жизни, но объясняет непрерывный рост валового выпуска продукции.
2. Рост населения позволяет дать дополнительные объяснения того, почему некоторые страны богаты, а другие бедны. Увеличение темпа прироста населения (n2 > n1) сдвигает влево/вверх линию, представляющую рост населения и износ на Рис. 1.9. Для нового устойчивого уровня характерен меньший запас и капитала на 1-го работника. Отсюда модель Солоу предсказывает, что страны с более высоким темпом прироста населения будут иметь меньшую фондовооружённость и, следовательно, меньшие доходы.
3. Рост населения влияет на уровень накопления капитала по золотому правилу. Поскольку устойчивый объем производства 
, инвестиции в устойчивом состоянии 
, то устойчивый уровень потребления 
. Уровень 
, который максимизирует потребление, таков, что 
или 
, то есть чистый предельный продукт капитала равен темпу прироста населения.
Включим в модель Солоу технический прогресс – третий источник экономического роста. Запишем производственную функцию следующим образом:
Y=F(k; L·E),
где Е – представляет собой новую переменную, которую мы назовем эффективностью труда 1-го работника. Составляющая L·E – переменная, измеренная в единицах труда с постоянной эффективностью. Принимается во внимание количество работников L, эффективность труда каждого из них равна Е. В соответствии с новой производственной функцией общий объем производства Y зависит от количества единиц капитала К и от числа эффективных единиц рабочей силы L·E.
Простейшим допущением относительно технического прогресса является то, что он вызывает увеличение эффективности труда Е с постоянным темпом прироста g. Эта форма технического прогресса называется трудосберегающей.Поскольку рабочая сила L растёт с темпом прироста n и отдача от каждой единицы труда Е растет с темпом прироста g, общее количество эффективных единиц труда L·E увеличивается с темпом прироста n+g.
Пусть k = K/L·E, т.е. капитал на единицу труда с постоянной эффективностью (например, начальная Е=1). у=Y/L·E. Используя эти определения, можно записать у=f(k). Анализ происходит по той же схеме, что и в случае с ростом населения. Уравнение, показывающее изменение k с течением времени, теперь выглядит следующим образом:
Δk = S·f(k) – (σ+n+g)·k
Если величина g растет быстро, то и общее количество единиц труда с постоянной эффективностью растет быстро, а прирост капитала на такую единицу труда сравнительно мал, то, как следствие, прирост фондовооружённости даже может стать отрицательным.
Таким образом, с учетом технического прогресса модель Солоу позволяет объяснить, почему уровень жизни растет из года в год. Технический прогресс может поддерживать непрерывный рост выпуска продукции на 1 работника; тогда как высокий уровень сбережений ведет к высоким темпам прироста только до момента достижения устойчивого состояния. Модель Солоу показывает, что только технический прогресс может объяснить непрерывно растущий уровень жизни.
Введение в модель технического прогресса также изменяет условия выполнения Золотого правила:
с* = f(k*) – (σ + n + g)·k*
Устойчивый уровень потребления с* будет максимальным, если:
МРК – σ = n + g
Таким образом, при запасе капитала по Золотому правилу чистый предельный продукт капитала МРК – σ равен сумме темпов прироста населения и темпов прироста объемов производства на 1 работника.
Тогда производственная функция Y = f(K, L) не меняется во времени, объем производства изменяется только вследствие изменений в количестве использованного труда и капитала.
Предположим, что количество капитала возрастает на ΔК, а количество труда – на ΔL. Увеличение производства в этом случае определяется двумя факторами: приращением труда и приращением капитала.
ΔY = (МРК·ΔK) + (МРК·ΔL)
Преобразуем это равенство:
ΔY/Y = ((МРК ∙К)/Y)· ΔК/К + ((МРК· L)/Y)·ΔL/L
ΔY/Y =α · ΔК/К + (1–α)·ΔL/L
(МРК·К)/Y + (МРL·L)/Y = 1
Y = A·F(К, L);
где А – мера текущего уровня технологии или совокупная производительность факторов. Изменяющаяся технология добавляет ещё одно слагаемое в уравнение связи долей вкладов факторов экономического роста:
ΔY/Y = L·ΔK/K + (1-α) ΔL/L + ΔА/А;
Или, в вербальной форме:
| Темп прироста производства | = | Вклад капитала | + | Вклад труда | + | Вклад совокупной производительности факторов |
ΔА/А = ΔY/Y - L·ΔК/К - (1-α) ΔL/L
ΔА/А – часть темпа прироста выпуска, которая не может быть объяснена изменением затрат факторов производства (остаток Солоу). Совокупная производительность факторов включает в себя все, что меняет соотношение между измеряемым выпуском объема производства и измеряемыми затратами.
Если МРК – σ > n+g, то экономика требует роста сбережений; если МРК – σ < n+g, то – наоборот. Чтобы оценить общенациональный уровень капитала, необходимо сравнить темп прироста объема производства с величиной чистой отдачи от капитала.
Государственная политика может привести к увеличению национальной нормы сбережений двумя путями:
· непосредственно через повышение государственных сбережений (профицит государственного бюджета). В этом случае правительство может погасить часть государственного долга и стимулировать инвестиции;
· косвенно через создание стимулов для повышения частных сбережений. Налоговые стимулы, в частности, льготное налогообложение инвестиций в капитал корпораций, увеличивают доход от капитала и поощряют частные сбережения.
Модель Солоу показывает, что постоянный рост дохода на душу населения обусловлен НТП, но она рассматривает последний как экзогенный фактор, не объясняя последнего. Основные факторы, определяющие скорость НТП, в целом остаются неясными.
Меры государственной политики в поддержку НТП:
· патентная система: даёт временную монополию изобретателю нового продукта;
· льготное налогообложение научных исследований и опытно-конструкторских разработок (НИОКР);
· поддержка правительственных организаций и фондов (бюджетное и грантовое финансирование НИОКР и фундаментальных исследований).