Такырыбы: Нүкте кинематикасы
Есептің шарты. В нүктесі ХОУ жазықтығында сәйкесінше және теңдеулерімен қозғалады, өлшемдері сантиметрмен, t - секундпен. Х=f1(t) теңдеуі есептеу схемасында көрсетілген.(сурет 3.) указана (траекториясы шартты түрде суретте көрсетілген), aл Ү= f2(t) теңдеуі 3 кестеде келтірілген.
3 кестеде берілген t1 уақыт моменті үшін:
1. Нүкте траекториясының теңдеуін;
2. Нүкте қозғалысының жылдамдығын;
3. Үдеу: толық, нормаль, жанама;
4. Траектория қисығының радиусын.
Есептішешудің жалпы әдісі.
1. Траекторияның теңдеуін анықтау үшін, қозғалыс теңдеуінен t уақытты
шығарып, у-ті х-тің функциясы ретінде өрнектеу керек.
2. Х=f1(t) және Ү= f2(t) қозғалыс теңдеулерінен туынды алып, жылдамдық
векторларының сәйкес координата өстеріндегі проекцияларын анықтаймыз, ал
жылдамдыктың өзін келесі тәуелділіктен анықтаймыз:
-модуль – V2= Vx2+Vy2
-вектор – V=Vx+Vy
3. Қозғалыс теңдеуінен екінші туындыалып, немесе жылдамдық проекциясынан бірінші туынды алып, үдеу векторының проекциясының мәнін аламыз, сонымен толық үдеуді келесі тәуелділіктенанықтаймыз:
-модуль - a2= ax2+ay2
-вектор - a=ax+ay
4. Жанама үдеу нүкте жылдамдығының уакыты бойынша бірінші туындысы ретінде анықталады.
аτ=dV/dt
5. Толық үдеуді жанама және нормальға жіктей отырып, соңғысын
анықтаймыз.
6. Берілген уақыттағы нүкте қисығының радиусы келесі өрнекпен анықталады:
аn=V2/ρ
Сурет 3. №3 есебінің схемасы
Кесте 3
№3 есебінің варианттарының берілгені
№3 есебіне мысал
Есептің шарты. В нүктесі хоу жазықтығында х =-2соs(π/4*t)+ 3; у=2sin(π/4*t) -1
теңдеуі бойынша қозғалуда. t1= 1с уақыт моменті үшін: траектория теңдеуін, жылдамдығын, үдеуін және траектория қисығының радиусын анықтау керек.
Осы кинематикалық параметрлерді графикалық түрде көрсету керек.
1. Берілген қозғалыс теңдеуінен t параметірін шығарып тастау үшін тригонометриялық келтіру формулаларын қолданған ыңғайлы, мысалға косинус қос бұрышы: cos2α =1-2sіn2α (1)
X өсі бойындағы қозғалыс тендеуінен:
соs(π/4*t)=(3-х)/2=1- 2 sіn2α(π/8*t)
У өсі бойындағы қозғалыс теңдеуінен өрнектейтініміз:
sіn2α(π/8*t)=((у+1)/2)2
осы мәндерді бірінші теңдеуге қойып алатынымыз:
(3-х)/2=1- 2((у+1)/2)2 ; немесе түрлендіргеннен кейін табатынымыз
х = (у+1)2 +1; - квадраттық парабола теңдеуі.
2. Нүкте жылдамдығын, оның координата өстеріндегі проекциялары бойынша анықтаймыз:
|
осы өрнектерге t1= 1с мәнін қойып табатынымыз:
Vx1= π/2sin (π/4*1)=(3,14/2)*0,707=1,11 cм/с
Vу1= π/4cos (π/4*1)=(3,14/2)*0,924=0,73 cм/с
3. В нүктесінің үдеуін келесі тәуелділіктен анықтаймыз:
ах= dVх /dt = π2/8соs( π/4*t) ;
ay= dVY/ dt= - π2/32sin( π/8*t) ;
берілген t1 =1с мәнін қойып, үдеудің және оның құраушыларының сандық мәнін анықтаймыз:
ах1 = π2/8соs( π/4*1) = 3.14/8*0.707= 0.87 cм/с2;
ay1= - π2/32sin( π/8*1)= 3.142/32 *sin22030'= -0.12 cм/с2;
cм/с2;
4. Жанама үдеуді уақыт бойынша жылдамдықтың бірінші туындысы ретінде анықтаймыз:
aτ= dV/dt. Ол үшін V2= Vx2+Vy2 өрнегінен дефференциал аламыз:
2 VdV/dt = 2 Vх dVх /dt+2 Vy dVy /dt;
dV/dt арқылы шешіп табатынымыз:
aτ= dV/dt= (Vх ах+Vy ay)/ V;
t =1c момент уақыты үшін жылдамдықтың және үдеудің құраушыларының мәнін қойып, табатынымыз:
aτ=(1.11*0.87+0.73*(-0.12)) /1.33 = 0.66 cм/с2;
5. Нормаль үдеу:
cм/с2
6. Траекторияның қисығының радиусы келесі формуламен анықталады:
ρ= V2/an ; ρ1= 1.332/0.58=3.05 cм
7. В нүктесінің траекториясының бірбөлігін суреттегідей етіп көрсетейік,
ол үшін алдын ала таблица құрамыз:
| У | -3 | -2 | -1 | |||
| X | 2 |
Таблицадағы У мәнін беріп, X мәнін табылған х=(у+1)3+1 траектория теңдеуі бойынша анықтаймыз:
Сурет 3.1 Нүкте қозғалыс треакториясының графигі
t1=1с момент уақытандағы В нүктесінің траектория бойындағы орнын анықтаймыз, ол үшін t1 мәнін берілген қозғалыс тендеуіне қойып Х1 және У1 нүктелерінің координаталарын анықтаймыз:
Х1=-2cos( π/4*1)+3=-2*0.707+3=1.58 [см]
У1=2sіn(π/8*1)-1=2sin22°30'-1=-0,23[см]
Табылған мәндер бойынша В нүктесінің траектория бойындағы орнын белгілейміз. (сурет 3.1)
Жылдамдықтың векторын және олардың кұраушыларын тұрғызу үшін масштаб қабылдаймыз:
μv = 2.74 см/(см/с),олай болса векторлардың ұзындығы:
V х1=1,111* μv =1,11*2,74=3 [см]
V у1=0,73*2,74=2 [см]
V1=1,33*2,74=3,6 [см]
Векторларды суретте көрсетеміз.
Үдеулердің векторларын және олардың құраушыларын тұрғызу үшін μа =2,74 см/(см/с2), масштабын қабылдаймыз, олай болса векторлардың ұзындығы:
ax1=0,87* μа =0,87*4,6= 4 [см]
ау1=-0,12*4,6=-0,6 [см]
а1=0,8*4,6= 4 [см]
аτ=0,66*4,6= 3 [см]
аn=0,58*4,6= 2,7 [см]
Осы векторларды суретте көрсетеміз.
Ескерту. Масштаб коэффиценті суреттің көрнекті болуын қамтамасыз етуі керек. Векторлардың ұзындығын 1-5 см аралығында алған дұрыс. Мысалы, біздің есебімізде жылдамдықтың үш мәнінің кішісі (Vу1 жылдамлық векторы) 2-ге тең етіп аламыз, олай болса жылдамдықтың масштабы:
μv=2/0.73=2.7397
Дөңгелектеп алатынымыз: μv =2,74 см/(см/с),
Есеп №4