Краткие теоретические сведения. 2 страница

Уравнениямимежотраслевого баланса, описывающими процесс производства и потребления продукции -отраслевой экономикой, называют уравнения ( ) , где - объём выпуска валовой продукции -ой отраслью, - объём продукции -ой отрасли, потребляемый -ой отраслью для производства своей продукции, - объём выпуска конечной продукции -ой отраслью, предназначенной для реализации в непроизводственной сфере.

Если предположить, что (гипотеза линейности), где - постоянные числа, характеризующие технологию производства (показывают затраты продукции -ой отрасли на производство 1 единицы продукции -ой отрасли) и называемые коэффициентами прямых затрат, то уравнения межотраслевого баланса запишутся в виде: ( ). Их называют уравнениями линейного межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева многоотраслевой экономики и записывают, как правило, в матричном виде: , где - единичная матрица; - матрица коэффициентов прямых затрат; и - векторы (матрицы-столбцы) валового и конечного продукта, соответственно.

Основная задача линейного межотраслевого баланса состоит в отыскании вектора , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта . Вектор находится по формуле , где - матрица коэффициентов полных затрат, элемент которой показывает величину валового выпуска продукции -ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска 1 единицы конечного продукта -ой отрасли. Решение такой задачи существует только для продуктивных матриц .

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения Леонтьева: .

Матрица будет продуктивной, если сумма элементов по каждому её столбцу (строке) не превосходит единицы: , причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли. Объёмы выпуска чистой продукции -ой отрасли вычисляют по формулам: ( ).

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел: и обозначают . Числа называют компонентами вектора , число компонент называют его размерностью.

Векторы и называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: , .

Суммой векторов и одной размерности, называют вектор той же размерности, для которого: , .

Произведением вектора на число называют вектор той же размерности, для которого: , .

Линейной комбинациейвекторов и одной размерности, называют вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространствоми обозначают .

Систему векторов называют линейно зависимой, если найдутся числа , одновременно, такие, что (где - нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.

Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов , удовлетворяющую условиям:

1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называют координатами вектора в базисе , а формулу называют разложениемвектора по базису и пишут: .

В пространстве базисом является каждая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Формулу называют разложениемвектора по базису , коэффициенты - координатами вектора в базисе и пишут .

Всякая упорядоченная система из векторов образует базис , если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов , не равен нулю.

Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов и называют число: .

Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.

Операторомназывается закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , и пишут или В дальнейшем, рассматривается случай (преобразование пространства ). Оператор называется линейным, если для любых векторов и действительных чисел выполнено условие: .

Если - базис пространства , томатрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Между линейными операторами, действующими в и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор представить в матричном виде , где - матрицы-столбцы координат векторов , - матрица оператора в базисе .

Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции: 1) сложение операторов: ; 2) умножение операторов на число: ; 3) умножение операторов: .

Обратным к оператору называется оператор такой, что , где - единичный (тождественный)оператор, реализующий отображение . Обратный оператор существует только для невырожденных операторов (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число и вектор , , таковы, что выполняются равенства: или . Тогда число называется собственным числом линейного оператора (или матрицы ), а вектор - собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство может быть записано в виде , где - единичная матрица порядка , - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу , - нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора (или матрицы ) называется уравнение: .

Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичной формой ( или кратко ) от -переменных называется однородный многочлен второй степени с действительными коэффициентами: , где . Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: , где - матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие ), - матрица-столбец, - матрица-строка, составленные из переменных .

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица является невырожденной.

Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид:

.

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма называется:

положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполняется неравенство ( ); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого выполняется неравенство ( ), причём существует , для которого ; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие и , что и .

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Пусть , где - матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы называются миноры порядка

( ), составленные из первых строк и первых столбцов матрицы: , , , .

Критерием знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

- квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. , , , ;

- квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: , , , , (все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;

- квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки .

Тема 7. Векторная алгебра.

Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается или . Углом между векторами и называется угол , , на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число .