ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ И ЗОННАЯ
СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ
Вопросы
1. Можно ли решить уравнение Шредингера для кристалла, не пользуясь одноэлектронным приближением? Объяснить другие известные Вам виды приближений.
2. Дать определение приближения сильной связи. Как влияют величина и знак обменного интеграла в этом приближении на ширину и форму зоны разрешенных энергий?
3. Дать определение приближения слабой связи. Показать на схеме, как весь спектр энергий электронов приводится к первой зоне Бриллюэна. Физический смысл понятия эффективной массы.
4. В приближении слабой связи изобразить закон дисперсии E(k) для электрона в кристалле (для первых трех зон Бриллюэна). Перевести зависимость E(k) в первую зону. Показать эквивалентные точки для второй и третьей зон в первой зоне.
5. Как изменится закон дисперсии E(k) для электрона в кристалле, если постоянную решетки увеличить вдвое a2 = 2a1?
Задачи
4.1. Построить зоны Бриллюэна для двумерной простой прямоугольной решетки с межатомными расстояниями a и b = 2a. Показать, что на границе зоны Бриллюэна выполняется условие Вульфа-Брегга.
Методические указания
Зоны Бриллюэна строятся в обратном пространстве. Примеры построения: первая зона Бриллюэна – область в обратном пространстве, окружающая один из узлов обратной решетки и ограниченная набором плоскостей, проходящих через середину векторов, соединяющих в обратной решетке данный узел с его ближайшими соседями. Вторая зона строится аналогично. Центральный узел соединяется с узлами во второй координационной сфере, затем строят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середины [2, 4].
Обычно зоны Бриллюэна строят в пространстве волновых векторов 
: если период прямой решетки а, то период обратной решетки 1/а, его умножают на 2p. Границы первой зоны Бриллюэна для одномерного случая от (–p/а) до (+p/а). В общем случае k = п(p/а), где п – целое число, является условием границы зоны.
Выразим волновой вектор через длину волны электрона k = 2p/l и запишем его значение на границе зоны:
, (4.1)
отсюда
. (4.2)
Это условие Вульфа-Брегга для электронной волны, падающей на решетку перпендикулярно атомным плоскостям, т.е. электрон при таком значени k испытывает брегговское отражение. Образуются стоячие волны.
4.2. Решить предыдущую задачу для решетки с межатомными расстояниями a и b = 3a.
4.3. Построить зависимости скорости и эффективной массы электрона от волнового вектора в первой и второй зонах Бриллюэна.
Методические указания
Построения в первой зоне Бриллюэна сделаны в [4].
4.4. На рис. 4.1 изображены узлы обратной решетки для косоугольной двумерной решетки. Построить зоны Бриллюэна.
Методические указания
Построение первой зоны Бриллюэна приведены в [2].
Рис. 4.1. Косоугольная двумерная решетка
4.5. Построить зоны Бриллюэна для двумерной гексагональной решетки.
Методические указания
Построение первых пяти зон приведено в [2].
4.6. Определить форму изоэнергетических поверхностей в зонах проводимости кремния и германия. Найти значения полуосей эллипсоидов.
Методические указания
Решение этой задачи приведено в [5].
4.7. Используя приближение сильносвязанных электронов, посчитать ширину энергетической зоны, в которую расщепляется атомный уровень:
а) для двумерной квадратной решетки;
б) для простой кубической решетки.
Методические указания
Задача для простой кубической решетки решена в [5].
4.8. Построить первую зону Бриллюэна для простой кубической решетки.
4.9. Посчитать для трехмерной простой кубической решетки, во сколько раз кинетическая энергия свободного электрона в углу первой зоны Бриллюэна больше, чем в центре боковой поверхности зоны.
4.10. Посчитать для двумерной прямоугольной решетки с межатомными расстояниями a и b = 2a, во сколько раз кинетическая энергия свободного электрона в углу первой зоны Бриллюэна больше, чем в середине боковой стороны зоны.
4.11. Посчитать для двумерной простой квадратной решетки, во сколько раз кинетическая энергия свободного электрона в углу первой зоны Бриллюэна больше, чем в середине боковой стороны зоны.
4.12. Определить параметры обратной решетки для германия и кремния.
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ