Общее уравнение плоскости

⇐ Назад

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендик/ P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие II 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- совпадения 2х плоск.

Канонич Ур-ие прямой в пространстве.

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней)

необх. и достаточно, чтобы M₀M||S

Уравнение прямой в пространстве,

проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

Прямая, как пересечение плоскостей.

Нахождение начальной

Точки и направляющего вектора прямой.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к

каноническому ур-ю прямой, надо задать

начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

Взаимное расположение прямой на

Плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

pq<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

Общее ур-е прямой линии на

Плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей

через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой

Каноническое ур-е прямой линии на плоск.

Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки.

Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M₁(x₁,y₁),

M₂(x₂,y₂) и x₁¹x₂, y₁¹y₂.

Для составления Ур-ия

прямой М₁М₂ запишем

уравнения пучка прямых, проходящих

через точку М₁: y-y₁=k(x-x₁). Т.к. М₂лежит на

данной прямой, то чтобы выделить ее из

пучка, подставим координаты точки М₂ в

уравнение пучка

М₁: y-y₁=k(x-x₁) и найдем k:

Теперь вид искомой

прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

Угол м/ду прямыми на плоскости.

Условия || и^.

а)

S₁{l₁,m₁} S₂{l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁, k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+ tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б) p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то

Расстояние от точки до прямой на

Плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты

которых по отношению к системе

декартовых координат удовлетворяет

уравнению y=ax², где х и у - текущие

координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах.

в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом

параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе,

расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости,

равноотстающих от фокус и от директрисы y=ax².

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если

коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем

эллипса,

где При а=в

представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом

(0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой

точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии

Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют

противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы

примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) –

фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперб абсолютная величина

разности ее расстояний до фокусов есть

величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0,

получаем 2 перекрестные прямые

х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е

сопряженной гиперболы.

⇐ Назад