Пути решения краевых задач теории упругости
Первый подход — прямой — состоит в непосредственном решении системы разрешающих уравнений и последующем удовлетворении поставленных краевых условий. Реализация его возможна лишь в редких случаях. Это объясняется тем, что математика еще не располагает радикальными методами нахождения общих решений уравнений с частными производными.
Другой подход, называемый часто обратным способом (методом) Сен-Венана состоит в следующем. Сначала отыскиваются всевозможные частные решения разрешающих уравнений краевой задачи. Затем, выходя на поверхность тела, устанавливают виды краевых условий, для которых найденные частные решения являются точным решением краевой задачи. Располагая множеством таких точных решений, с помощью принципа суперпозиции строят (если это возможно) решение заданной краевой задачи.
При решении многих практических задач весьма плодотворным оказывается и полуобратный способ Сен-Венана, заключающийся в следующем. Опираясь на опытные данные или интуицию и в соответствии с поставленной краевой задачей, задают частично характер изменения искомых величин. Например, задают изменение искомой величины в направлении одной координаты. Оставшийся произвол в искомых величинах пытаются устранить путем прямого решения преобразованной краевой задачи.
Подходы ориентированы, в основном, на получение решений в аналитической форме и не исчерпывают существующие способы решения краевых задач теории упругости. Не вдаваясь в подробности, укажем, что в настоящее время вычислительная математика, рассчитанная на применение современных вычислительных машин, располагает мощными численными методами, позволяющими строить приближенное решение широкого класса краевых задач теории упругости. К ним относятся, например, метод конечных разностей и метод конечных элементов.
1.6.5. Принцип Сен-Венана. Трудности реализации прямого способа при решении краевых задач теории упругости, в ряде случаев удается преодолеть ценой искажения истинного напряженно-деформированного состояния в некоторой области упругого тела. Полученное таким образом решение оказывается достаточно точным в точках, удаленных от области искажения. Построение подобных решений основано на применении принципа Сен-Венана, заключающегося в следующем.
Пусть подобласть поверхности или объема упругого тела, в которой приложена внешняя нагрузка, мала по сравнению с размерами самого тела. Тогда напряженно-деформированное состояние в точках тела, достаточно удаленных от этой подобласти, не зависит от способа реализации в ней внешней нагрузки.
Дадим некоторые пояснения. Пусть 
— максимальный размер области действия внешней нагрузки, а 
— минимальный характерный размер тела. Расстояние интересующей нас точки тела до области действия внешних сил обозначим символом 
. Две системы сил будем называть статически эквивалентными, если они приводятся к одним и тем же равнодействующим силам. С учетом введенных обозначений и понятий принцип Сен-Венана можно теперь перефразировать так: если 
, то внешнюю нагрузку можно заменить другой статически эквивалентной первой без изменения напряженно-деформированного состояния в точках, для которых 
.
В частности, если внешние нагрузки самоуравновешенные (их равнодействующие силы равны нулю), то напряжения в указанных точках равны нулю.
Принцип Сен-Венана позволяет из общего (неизвестного) решения задачи выделить ту его часть, которая быстро затухает по мере удаления от области действия нагрузки. Эти составляющие решения носят локальный характер, что позволяет при их вычислении переходить к бесконечным и полубесконечным моделям упругого тела, что существенным образом облегчает решение исходной краевой задачи.