Ньютонны модификацияланан дісі

Лекция № 1-3 Бір белгісізді тедеулерді шешу.

Жанамалар дісі

Біріккен діс

Итерациялы діс.

3.1 Ньютон дісі (жанамалар дісі)

тедеуді аралыта ажыратылан тбірі болсын. Біз тбірді -ші жуытауында тбірді тапты делік. Онда -ші жуытау -ді тмендегіше баалаймыз.

. (3.15)

деп аламыз.

- ты нктеде атара жіктеп аламыз:

Бл жерден

. (3.16)

(3.16)-ны (3.15) формулаа ойып аламыз:

(3.17)

Сурет 1.

Ньютон дісіні геометриялы маынасы:

исыты доасы, сол исыты йтеуір бір нктесіне жргізілген жанамаа эквивалент. (Сурет 1-ді араыз.)

нктеде болады. Бл жерде .

нктеге жанама жргіземіз, жанаманы осімен иылысуындаы нкте . Одан рі нктеге жанама жргізіп нктені аламыз. т.с.с.

Егер десек, онда нктеде болады. Онда нктедегі жанама осін кесіндіні сыртында жатан кесіп теді де алашы нктені блай тадауда Ньютон дісі жинаталмайды. Ньютон дісіні жинаты болуыны жеткілікті шарты тмендегі теорема арылы аныталады.

Теорема 5. Егер , болып, жне нольден згеше жне да белгілі бір табаны сатаса, онда

(3.18)

шартты анааттандыран бастапы жуытаудан бастап, (3.17) Ньютон дісімен тедеуіні бір ана тбірін кез келген длдік дрежесінде есептеп таба аламыз.

Длелдеуі:

болсын. (3.18) тесіздікке байланысты жатан аралы ретінде, болатын кесіндіні аламыз, азіргі жадайда b нктесі.

Демек, . Енді барлы жуытаулар , сонымен атар барлы екендігін длелдейік. болсын.

деп алайы.

Тейлор формуласын олданса:

бл жерде

. , боландытан

жне, осылайша

длелдеу керегі сол. (3.19)

(3.19)-дан жне -ді табаларын ескеріп аламыз, яни шекараланан монотон кемімелі тізбек аламыз

Демек, бар..

(3.17)-де шекке тіп, аламыз, яни , демек бл жерден, - тбір д.к.с.

Ньютон дісіні жинаталу жылдамдыын баалайы. (3.17)-ден

. (3.20)

-ді тмендегіше жазайы.

бл жерден

. 3.21)

(3.21)-ді (3.20)-а ойып табамыз,

Бл жерден

(3.22)

Бл жерде ,

Сонымен Ньютон дісіні жинаталу жылдамдыы квадратты.

Сурет 2.

Итерациялы процесті аяталу критерийі тмендегіше:

Ескерту. Жалпы жадайда жне екі тізбекті длдікте жинаталуы жне -ді сйкес келуіне (сурет 2) кепілдік бермейді. Сондытан да айырымнан баса f (x_n): функция мндерін де тексеруге болады.

Ньютонны модификацияланан дісі

Ньютон дісін модификациялау шін туындыны

формуладаы нктеде нктедегі туындымен алмастырамыз, яни деп аламыз. Нтижеде

( ).(3.23)

Бл тсілді геометриялы маынасы: нктедегі жанамаларды исыына нктеде жргізілген жанамалара параллель тзулермен алмастырамыз. (сурет 3).

Сурет.3. Модификацияланан Ньютон дісі.

Бл жерде айта-айта туындыны есептей беруді ажеті жо. (3.23) процесіні жинаталуын тмендегі теорема амтамасыз етеді.

Теорема 6. -да екі рет дифференциялданушы функция берілсін, сонымен атар тмендегі шарттар орындалсын.

а)

б) жне жне -да табаларын сатасын.

Онда

шартты анааттандырушы алашы жуытаудан Ньютонны модификацияланан дісімен кез келген длдіктегі бір ана тбірді есептеп таба аламыз.

Длелдеуі. (сурет.3) болсын. Онда боландытан ретінде нктені аламыз. (3.23)-тен екендігі келіп шыады, яни тізбек кемімелі болады.

. (3.24)

Енді осы тізбекті шегі екендігін крсетеміз. болсын. екендігін длелдейміз. Ол шін Ньютон формуласында алынан -ші жуытауды(формула (3.17) жазамыз жне Ньютонны модификацияланан дісі (3.23) бойынша

жне айырымды табамыз.

. (3.25)

Дес функциялар теориясынан, егер жне -да табасын сатаса, онда дес болады. Дес функциялар шін туындылар кемімелі емес, яни . Сондытан

. (3.26)

(3.26)-ны ескере отырып (11)-ден .

5-теоремадан Ньютон дісіні жинатылыын алды, сондытан . Бл жерден

. (3.27)

Сонымен, (3.24) жне (3.27)-ден кемімелі тізбекке ие боламыз.

Сонымен кез келген кішкентай о шін, . Болатын -ді крсетуге болады. Теорема длелденді.

Біріккен тсіл

болсын, ал жне -да табаларын сатасын. Хордалар жне Ньютон дістерін біріктіріп, тбірді іздеуді жне итерациялы процесті жинаталуын тездетуге болады. Нтижеде рбір адамда тбір жатан интервалды екі шетіні де мндерін табатын біріккен тсілге ие боламыз. Хордалар тсіліндегідей келесі жадайларды арастырамыз.

1. Егер (яни - имылдамайтын, сурет 4) онда

(3.28)

Бл жерде

сурет. 4а сурет. 4б

2. Егер ( - имылдамаса (сурет 5), онда

(3.29)

Бл жерде .

сурет. 5а сурет. 5б

Итерация дісі

Тедеуді санды шешуді тиімді дістеріні бірі итерация дісі болып табылады.

Тедеу берілсін. .

Оны те кшті . (3.30) тедеуімен алмастырамыз.

Алашы жуы тбір -ді тадап аламыз да оны (3.31) тедеуді о жаына апарып оямыз. Сонда йтеуір бір . (3.32)

сана ие боламыз. (3.32)-ні о жаына -ді орнына санын ойып

сана ие боламыз. Осы процесті айталап,

( ). (3.33) сандар тізбегіне ие боламыз.

Егер осы тізбек жинаты болса, яни шек бар болса, онда (3.33) тедеуде шекке кшіп жне функцияны здіксіз деп,

немесе -ті табамыз.

Сонымен,

шек (3.33) тедеуді шегі болады жне оны (3.33) формуламен кез келген длдікте есептеуге болады.

сурет. 8а сурет. 8б

сурет. 9.

- жинаталмайтын процесс

8а, 8б суреттерде тбірді маайында итерациялы процесс жинаты. Біра, егер жадайды арастырса, онда итерациялы процесс жинасыз болуы ммкін (сурет 9).

Итерациялы процессті жинаты болуыны жеткілікті шарты.

Теорема 7. функция -да аныталан жне дифференциялданушы болсын, сонымен атар барлы жне -да болсын. Онда итерациялы процесс алашы мнге байланыссыз жинаты жне шекті мні тедеуді кесіндідегі жалыз мні болады.

Длелдеуі: Екі тізбектелген жуытауларды арастырайы жне жне оларды айырымын арайы . Лагранж теоремасы бойынша о жаы былай болуы ммкін.

Онда

деп,

(3.34)

(3.34) тен шарт бойынша тізбек йтеуір бір сана жинаталады, яни , демек ( -функцияны здіксіздігінен) немесе

теорема длелденді.

тбірді ателігі шін келесі формуланы алуа болады.

Ары арай

Енді

Нтижеде

немесе

Бл жерден , (3.35)

бдан 1-ге жаын боланда шама боланына арамай те лкен болуы ммкін, бл жерде -берілген сан. -ді длдікпен есептеу шін,

. (3.36)

болуын амтамасыз ету керек.

Онда (3.36)-ны (3.35)-ке ойып, -ді аламыз.

Егер те аз болса, онда (3.35)-ды орнына

ды алуа болады.

Итерация дісіні жинатылы коэффициенті болып, жинатылыы сызыты. Шынымен-а

бл жерден .

Ескерту. Тбір жатан айматы йтеуір бір аймаында , тедеу жне оны туындысы табасын сатасын жне тесіздік орындалсын. Онда, егер о болса біртіндеп жуытау тбірге монотонды жинаталады.