Метод наименьших квадратов

(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У.

М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии, что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у1=kx1+b Þ Е21= (y1-(kx1+b))2 характеризует степень удалённости точки (х1,у1) от прямой y=kx+b Е22= (y2-(kx2+b))2 и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности точек к прямой y=kx+b К=åni=1E2i . К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к*,b*, которые минимизируют значение К.

К(к,b)= åni=1(yi-(kxi+b))2 Необходимое условие экстремума. DК/Dк=0; DК/Db=0

DК/Dк=åni=12(yi-(kxi+b))(-хi)=0

kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi ;

DК/Db=åni=12(yi-(kxi+b))(-1)=0

åni=1 yi -kåni=1 хi-nb=0.

íì kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi

î kåni=1 хi+nb=åni=1 yi

cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b.

12. Выпуклые функции в Rn и их свойства.

Отрезок в Rn с концами a, b Î Rn – это множество точек

х (t)= (1-t) a + t b,

где t произвольное число из промежутка [0; 1]. Отрезок с концами a, b обозначается [ a, b ]. Отрезок [ a, b ] совпадает с множеством точек в Rn, представимых в виде с = aа + bb , где a,b - произвольные неотрицательные числа такие, что a+b=1. Множество Р Ì Rn называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками a, bÎР оно содержит и весь отрезок [ a, b ]. Функция n переменных f (х), определенная на выпуклом множестве РÌRn , называется выпуклой, если для любых двух точек a, b Î Р и любых двух чисел a,bÎ[0; 1] таких, что a+b=1, выполняется неравенство

f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b)

Для непрерывной функции, заданной на выпуклом множестве Р , следующие условия равносильны:

1) f выпукла;

 

 

 

 

Неравенство из пункта 4 называется неравенством Йесена. выпуклая функция наз. строго выпуклой, если неравенство f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b)строгое при всех a, b из области определения функции и α,β ≥0 таких, что α+β=1.

Функция f наз. (строго) вогнутой, если –f (строго) выпукла, т.е.

f (aа + bb)≥a f (а) + b f (b)

Линейная функция f(x)=(c,x)+c0 одновременно выпукла и вогнута, но не строго.

Свойства выпуклых функций.

1. функция с выпуклой областью определения Р Ì Rn выпукла тогда и только тогда, когда выпукло множество Нf ={(х,у):хÎР, у≥f(x)} (из Rn+1) называемое надграфиком функции f(x).

2. Если f(x) выпукла, то функция αf(x) выпукла при α>0 и вогнута при α<0.

3. Если f(x) выпукла на Р, то множество Uf (α)={х:f(x)≤α} выпукло при любом α. (обратное утверждение неверно).

4. Сумма любого числа выпуклых функций на множестве Р Ì Rn выпуклана Р , если при этом хотя бы одна из суммируемых функций строго выпукла, то вся сумма строго выпукла.

5. Пусть Р Ì Rn – выпуклое множество, и для каждого i=1,2,…k пусть li(x) – линейная функция n переменных , а fi(t) – функция одной переменной , выпуклая на li(Р). Тогда функция F(х)=f1 ( l1(x))+…+ fК ( lК(x)) выпукла на Р. При этом, если все функции fi(t) строго выпуклы и любая точка однозначно определяется набором ( l1(а)+…+ lК(а)), то F(х) строго выпукла.

6. Пусть f выпукла на Р Ì Rn , а φ(t) – возрастающая выпуклая функция на множестве f(Р) ÌR, тогда F(х)= φ(f(x)) выпукла на Р. Если f(x) строго выпукла, то и F(х) строго выпукла.

7. Дифференциируемая функция f(x) выпукла на множестве Р Ì Rn тогда и только тогда, когда (grad f(a), b-a)≤f(b)-f(a) для любых a,bÎР

8. Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [ a, b ]ÌR и дважды дифференциируемая на (a, b). Для выпуклости функции f(x) на [ a, b ] необходимо и достаточно выполнение неравенства f˝(x)≥0 для всех tÎ (a, b). Для строгой выпуклости f(x) добавляется условие f˝(x)≠0 ни на одном интервале, содержащемся в (a, b).

9. Пусть D – выпуклое открытое множество в пространстве Rn, f(x)=f(x1,…,хn) – функция, имеющая в D непрерывные частные производные второго порядка. Для каждой точки хÎ D положим

 

 

и составим матрицу

C=Cij(X). Функция f(x) строго выпукла на множестве D , если в каждой точке хÎ D выполняются следующие неравенства

 
 

∆1=с11>0, …, ∆n=det c>0

Экстремальные значения выпуклых и вогнутых функций.

1.Если х* - точка локального минимума (максимума) выпуклой (вогнутой) функции f(x) на выпуклом множестве Р Ì Rn то f(x*) – наименьшее (наибольшее) значение f(x) на Р. Если f(x) строго выпукла (вогнута), то х* - единственная точка глобального экстремума.

2.Пусть f(x) – выпуклая (вогнутая) функция на выпуклом множестве Р Ì Rn и пусть grad f(x*)=0. Тогда х* -точка глобального минимума (максимума) f(x) на Р.