Основные сведения из теории. При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить ее предельным значением

⇐ Назад

При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить ее предельным значением, если оно принадлежит области существования функции:

Примеры:

5) - не существует, как нельзя приписать никакого числового значения.

Задача 16.1

Найти .

Решение.

На основании приведенного выше правила для отыскания предела тригонометрических функций , а потому, когда , ; и мы имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций. Требуется, как уже хорошо известно читателю, специальное исследование, чтобы решить вопрос о пределе Зная. Что , имеем

Задача 16.2

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 16.3

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Под знаком предела находится при отношение двух бесконечно малых функций. Следует числитель разложить на множители:

Заменить дроби

Если под знаком предела имеется сумма или разность тригонометрических функций, часто бывает полезным преобразовать их в произведение по известным формулам тригонометрии.

Учесть, что ;

Ответ. .

Задача 16.4

Найти .

Решение.

При и числитель, и знаменатель дроби – функции бесконечно малые:

[7]

Аналогические рассуждения провести и по отношению к знаменателю. Имеем

Задача 16.5

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ. .

При решении остальных задач этого практического занятия следует иметь в виду, что

(16.1)

Задача 16.6

Найти ( - величина постоянная).

Решение.

Иногда при отыскании предела полезно произвести замену переменной с тем, чтобы упростить отыскание предела и использовать уже известные пределы.

Если под знаком предела делается переменной, то все величины, входящие под знак предела должны быть выражены через эту новую переменную, и из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Для решения предложенной задачи сделаем такую подстановку: Из этого равенства следует, что , когда , а . Тогда , так как

Следует запомнить, что

(16.2)

Задача 16.7

Найти .

Решение.

Мы разделили числитель дроби на . Это можно было сделать, так как значение не должно рассматриваться. При вычислении предела числителя и знаменателя последней дроби использована формула(16.2).

Задача 16.8

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Задача 16.9

Найти

Решение.

Задача 16.10

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на и перейти к пределу. Использовать решение предыдущей задачи.

Ответ.

Задача 16.11

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Дробь, стоящую под знаком предела, записать так:

Использовать теорему о пределе произведения [8].

Ответ.

Задача 16.12

Найти .

Решение.

При числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции. Воспользуемся тем, что и тогда

(мы использовали формулу (16.2). в нашем случае ).

Задача 16.13

Найти .

Решение.

При функции и - бесконечно большие функции; таким образом, под знаком предела находится разность двух бесконечно больших функций. Теорему (14.5а о пределе разности применить нельзя, так как не существует конечных пределов каждой из функций и при .

Преобразуем эту разность так:

После этого получим

К последней дроби можно было применить теорему о пределе дроби, так как предел знаменателя равен2, а числитель дроби имеет конечный предел 0.

Задача 16.14

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. Числитель дроби равен ; использовать так же формулу (16.2).

Ответ.

Задача 16.15

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. При функция - бесконечно большая. а - величина бесконечно малая. Значит, мы имеем произведение функции бесконечно большой на бесконечно малую и требуется специальное исследование , чтобы определить предел этого произведения.

Учесть, что , а поэтому . На основании формулы (16.1) .

Ответ. 1.

Задача 16.16

(для самостоятельного решения). Найти

Указание. .

Ответ.

Задача 16.17

(для самостоятельного решения).Найти .

Указание. Представить числитель в виде ,

а знаменатель .

Сократить дробь и перейти к пределу.

Ответ.

Задача 16.18

Найти .

Решение.

При не существует предела , а потому нельзя применить теорему (14.5в) о пределе произведения. Сделаем в нашем примере подстановку: . Когда , то новая переменная , так как

Если , то ; выражение стоящее под знаком предела, перепишется так:

Поэтому

Задача 16.19

(для самостоятельного решения). Найти .

Указание. 1) . Преобразовать дробь к виду .

Ответ.

Задача 16.20

(для самостоятельного решения). Найти

1) ;

2) .

Указания. 1) В первом примере умножить числитель и знаменатель дроби на , сократить дробь и перейти к пределу. 2) во втором примере перенести иррациональность в знаменатель, сократить дробь на и перейти к пределу.

Ответ. 1) ; 2) .

Задача 16.21

(для самостоятельного решения). Найти

1) ;

2) ;

3) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Указание. В первом приделе числитель и знаменатель дроби разделить на , во втором положить , в третьем примере ; .

[1] *Некоторые авторы, например Г.П. Толстов в учебнике «Курс математического анализа», называют эти совокупности чисел не «полуотрезками» а «полуинтервалами».

[2] Многозначные функции нами не рассматриваются

[3] Здесь - произвольная точка области определения функции, а - период функции.