Квазистационарные токи. Электрические колебания
26. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R1 и R2, конденсатора емкостью C и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться заряд на конденсаторе после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
Решение
Ток источника I складывается из токов через резистор R1 - I1 и конденсатор IС :
I= I1+ IС
Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и конденсатор, будем иметь:
I1R1+IR2= Є
q/C- I1R1=0
Исключив токи I и I1 из первых двух уравнений и подставив их в третье с учетом IC=dq/dt, получим уравнение
Є/R1,
где T=R1R2C/(R1+R2). Когда заряд на конденсаторе станет максимальным, ток через него прекратится, dq/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный заряд на конденсаторе: qm=T Є /R1. Так как в начальный момент конденсатор не заряжен, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет
q(t)=qm(1-exp(-t/T))
27. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R1 и R2, катушки с индуктивностью L и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться ток через катушку после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
Решение
Ток источника I складывается из токов через резистор R1 - I1 и катушку IL :
I= I1+ IL
Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и катушку, будем иметь:
I1R1+IR2= Є
LdIL/dt- I1R1=0
Исключив токи I и I1 из первых двух уравнений и подставив их в третье, получим уравнение
Є/TR2,
где T=(R1+ R2)L/R1R2. Ток через катушку ,будет максимальным, когда он перестанет изменятся, dIL/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный ток через катушку: Im = Є /R2. Так как в начальный момент тока через катушку нет, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет
IL q(t)=Im(1-exp(-t/T))
28. Определить связь между амплитудами тока и напряжения при свободных колкбаниях в LC контуре.
Решение
Свободные колебания в контуре без потерь - гармонические с угловой частотой
.
Напряжение на элементах контура составит U(t)=Umcos(w0t+j), ток в контуре будет I(t) = CdU/dt=-w0C Umsin(w0t+j)=-(Um/r)sin(w0t+j). Амплитуда тока составит Im=Um/r, где
- волновое сопротивление контура.
29. Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = 1 мкF и катушки с индуктивностью L = 1 мкГн, амплитуда тока за время t = 1 мс уменьшилась в a = 2 раза. Определить сопротивление проводов и добротность колебательного контура.
Решение
Отношение амплитуд через время t составит a = exp(bt). Отсюда находим b = (lna)/t = R/2L, R=(2L/t)lna = (2 10-6/1 10-3)ln2=1.4 10-3 Ом, Q=r/R=71.4