Матричные модели предприятий, фирм
Пусть предприятие состоит из n цехов. Матрица U, состоящая из элементов 
характеризует внутрипроизводственные связи. Элемент Uij показывает, какое количество продукции i – того цеха необходимо j – тому цеху для производства продукции j – того цеха.
Обозначим через y матрицу, состоящую из элементов yis, т.е. 
| Потребляющие цеха 1 2 … n | Конечная продукция | ||||
| Производящие цеха | 
| 
| 
| 
| |
| Потребляемые ресурсы | 
| Z IV | |||
| x1 x2 … xn | |||||
Элемент yis показывает, какое количество продукции i – того цеха используется s – м способом вне производства, т.е. на накопление, расчет с поставщиками, экспорт, потребление и т.д.
Матрица 
Элемент vrj показывает, какое количествоr ресурса необходимо j – тому цеху для производства его продукции.
, где xj - валовая продукция j – того цеха.
Элемент aij показывает, какое количество продукции i – того цеха необходимо j – му цеху для производства единицы продукции j – го цеха.
Матрица A, состоящая из элементов aij, называется матрицей прямых производственных затрат.
Матрица A отражает структуру предприятия.
Например, 
Количество строк равно количеству цехов предприятия. Цеха изображают на графике в виде кружка, а связи в виде дуг. Таким образом, получают ориентированный граф (орграф) внутрипроизводственных связей. Рис.3.1.
Рис.3.1. Внутрипроизводственные связи
Так, первый и четвертый цех нуждаются в своей продукции. Кроме того, 2 – й и 4 цех нуждаются в продукции первого цеха. 3 цеху необходима продукция только 4 цеха.
Технологию производства предприятия характеризует нормативная матрица N.
; обозначим элементы матрицы N через Nrj, тогда Nrj, показывает, какое количество ресурса r– го вида необходимо j – ому цеху на производство одной единицы продукции.
Основные свойства матричной модели предприятия:
1. В балансовой модели сумма элементов i – той строки равна сумме элементов i – го столбца. Действительно, просуммируем в матричной модели элементы по строкам.
(3.16)
Получаем в стоимостном выражении стоимость валовой продукции i- го цеха.
Просуммируем элементы по столбцам:
(3.17)
Получаем затраты на производство продукции j - того цеха в стоимостном выражении.
Просуммируем равенство (3.16) по 
, а равенство (3.17) по 
и сравним.
(3.18)
Отбрасывая равные первые слагаемые левой и правой части равенства, получим второе свойство:
2. Сумма элементов второго квадранта равна сумме элементов третьего квадранта в матричной балансовой модели промфинплана.
3. В матричной балансовой модели промфинплана сумма элементов r - той строки третьего квадранта равна сумме элементов той же строки четвертого квадранта в стоимостном выражении (предлагается доказать самостоятельно).
Эти же свойства наблюдаются в моделях межотраслевого баланса.
Вопросы для самоконтроля
1. Сущность балансовой модели.
2. Виды балансовых моделей.
3. Принципиальная схема МОБ.
4. В чем отличие открытой и замкнутой модели Леонтьева?
5. Матричные модели, их основные свойства.
6. Методы расчета матричных моделей.
7. Экономическая интерпретация результатов расчета матричных моделей.
8. Принципиальная схема динамического межотраслевого баланса.
9. Понятие A, (E-A)-1 коэффициентов прямых и полных материальных затрат.
10. Что характеризует структуру предприятия?
11. Продуктивность матрицы прямых материальных затрат А.
12. Основные свойства балансовых моделей.
13. Что характеризует технологию производства?
14. Как определить объем конечной продукции предприятия?
15. Понятие условно-чистой продукции.
Тесты. Балансовые модели
1. Величину валовой продукции каждой отрасли вычисляют по формуле:
а) X=Ax+y; 
б) y=(E-A)x;
в) y=Ax+B;
г). Х = (Е - А)-1У
2. В основе моделирования экономических процессов лежит балансовый метод, т.е. метод
а) взаимного сопоставления;
б) взаимного исключения;
в) взаимного дополнения;
г) взаимного обмена.
3. Модель Леонтьева имеет вид:
а) 
;
б) y=Ax+B;
в) X=Ax+y;
г) 
.
4. Все главные миноры матрицы (E-A) в продуктивной модели межотраслевого баланса
а) любые по знаку; б) положительны;
в) отрицательны; г) от 0 до 1.
5. Матрицы прямых производственных затрат балансовых моделей фирмы
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
продуктивны:
1) а, б; 2) а, г; 3) в, г; 4) б, г.
6. Максимальное значение неизвестного элемента, при котором матрица МОБ остается продуктивной
A= 
а) 0,5; б) 0,6; в) 0,2; г) 0,3.
7. Матрица прямых производственных затрат экономической системы из 2-ух отраслей
| Отрасль | Потребление | Чистая продукция | |
| I | II | ||
| I | |||
| II |
равна:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
8. Максимальное значение неизвестного элемента, при котором матрица 
МОБ остается продуктивной, равно
а) 0,8; б) 0,2; в) 0,5; г) 0,7.
9. Коэффициент прямых материальных затрат 
показывает какое количество
а) продукции i – той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j – той отрасли;
б) продукции i – той отрасли необходимо для производства единицы конечной продукции j – той отрасли;
в) продукции i – той отрасли необходимо для производства продукции j – той отрасли;
г) продукции j – той отрасли для производства единицы продукции I – той отрасли.
10. Конечная продукция вычисляется по формуле:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
11. Наибольшее по модулю собственное значение 
продуктивной матрицы A
а) строго больше 1; б) строго меньше 1;
в) не меньше 1; г) не больше 1.
12. Оценкой общего уровня коэффициентов матрицы прямых производственных затрат может служить:
а) норма матрицы A;
б) матрица коэффициентов полных материальных затрат;
в) наибольший по модулю корень характеристического уравнения 
,
г) нормативная матрица.
13. В системе уравнений балансовой модели каждое уравнение выражает требование баланса между:
а) производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции;
б) наличием ресурса и его использованием;
в) наличием рабочей силы и количеством рабочих мест;
г) платежеспособным спросом населения и предложением товаров и услуг;
д) все ответы верны.
14. Понятия «межпродуктовый баланс» и «межотраслевой баланс»:
а) идентичны;
б) практически идентичны, отличие лишь в единицах измерения;
в) это разные понятия,
г) зависимые понятия
15. Чистая (условная) отрасль
а) часть производства в зависимости от ведомственного подчинения;
б) все производство продукции;
в) все производство продукции независимо от ведомственного подчинения и права собственности;
г) нет верного ответа.
16. Каждое уравнение балансовой модели выражает требование балансов между:
а) предприятиями;
б) производимой продукцией и потребностью в ней;
в) затраченными ресурсами и выпускаемой продукцией
г) спросом и предложением.
17. Величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли в расчете на единицу ее валовой продукции, показывает коэффициент:
а) полной фондоемкости; б) прямой трудоемкости;
в) прямой фондоемкости; г) полной трудоемкости.
18. Система уравнений 
, является моделью:
а) «затраты – потребление»; в) «доходы – выпуск»;
б) «расходы – производство»; г) «затраты – выпуск».
19. Объем конечной продукции каждой отрасли можно определить, если задать в модели величину:
а) конечной продукции первых отраслей;
б) валовой продукции вторых отраслей;
в) валовой продукции каждой отрасли;
г) конечной продукции вторых отраслей.
20. Коэффициент полных материальных затрат показывает:
а) как скажется на валовом выпуске I – той отрасли изменение объема конечной продукции j – той отрасли;
б) какое количество продукции I – той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой отрасли получить единицу конечной продукции j – той отрасли;
в) сколько всего нужно произвести продукции I – той отрасли, чтобы получить единицу продукции j – той отрасли;
г) сколько всего нужно произвести продукции всем I отраслям, чтобы получить продукцию j – той отрасли.
21. Балансовое равенство Ax=x, где A - матрица прямых производственных затрат, 
отражает:
а) все, что производится в системе, в ней же и потребляется на производственные нужды и каждый продукт производится;
б) замкнутая модель Леонтьева продуктивна;
в) вся валовая продукция каждой отрасли потребляется всеми отраслями полностью;
г) все ответы верны.
22. С точки зрения запаса продуктивности, матрицы прямых производственных затрат расположены в порядке
; 
; 
а) A2A3A1; б) A2A1A3; в) A1A3A2; г) A3A1A2.
23. Максимальное значение неизвестного элемента, при котором матрица 
МОБ остается продуктивной, равно:
а) 0,7; б) 0; в) 0,6; г) 0,5.
24. Основой информационного обеспечения экономико-математической модели МОБ является:
а) матрица конечной продукции;
б) матрица валовой продукции;
в) матрица прямых производственных затрат;
г) матрица полных производственных затрат.
25. Структуру предприятия отражает:
а) матрица полных производственных затрат;
б) матрица прямых производственных затрат;
в) матрица конечной продукции;
г) матрица валовой продукции.
ПРАКТИКУМ
Задание 1 . Матричные модели
Фирма состоит из трех производственных отделов, потребляющих 4 вида ресурсов; производимая отделами продукция распределяется частично между отделами и формирует чистую продукцию фирмы для реализации на накопление, экспорт, для передачи в непроизводственную сферу, для расчета с поставщиками. Матричная модель экономики фирмы состоит из трех матриц: матрицы внутрифирменных связей, матрицы распределения чистой продукции и матрицы затрат ресурсов.
1. Постройте матричную модель экономики фирмы и определите:
- валовую продукцию каждого отдела;
- прямые и полные производственные затраты;
- нормативную матрицу;
- расход ресурсов по отделам и в целом по фирме.
2. Известна матрица цен единицы ресурсов (56 , 68, 75, 105). Определите себестоимость продукции каждого отдела и себестоимость продукции в целом по фирме.
3. Определите возможность приема нового заказа на чистую продукцию каждого отдела соответственно (57, 45, 70), для нового заказа выясните потребность в ресурсах каждого отдела, постройте новую матричную балансовую модель фирмы.
4. Проверьте основные свойства балансовой модели экономики фирмы, выясните необходимый объем инвестиций для рентабельности фирмы.
5. Исследуйте структуру фирмы по графу прямых производственных затрат, обоснуйте выводы и предложения о возможных направлениях развития фирмы.
Варианты
1. Матрица внутрифирменных связей:
1.1 10 20 15 1.2. 11 21 16 1.3. 12 22 17
10 15 10 11 16 11 12 17 12
20 25 18 21 26 19 22 27 20
1.4. 13 23 18 1.5. 14 24 18 1.6. 15 25 19
15 18 17 16 19 29 17 20 18
21 28 22 22 29 23 24 30 23
1.7. 16 26 20 1.8. 17 27 21 1.9. 18 28 22
18 21 19 19 22 20 20 23 21
25 28 24 26 29 25 27 30 25
1.10. 19 29 23 1.11. 20 30 24 1.12. 21 29 25
22 24 27 23 25 28 24 26 29
22 30 26 23 30 27 24 33 28
1.13. 22 29 23 1.14. 25 30 24 1.15. 27 29 25
22 26 27 23 32 28 24 25 29
22 30 28 23 30 29 24 33 26
1.16. 25 26 23 1.17. 27 30 24 1.18. 27 30 25
22 26 25 23 33 28 24 26 29
22 30 28 24 30 28 32 33 28
1.19. 26 27 23 1.20. 25 30 28 1.21. 24 32 26
24 26 25 26 30 28 25 24 30
22 30 32 25 32 28 32 32 22
1.22. 25 26 23 1.23. 26 30 26 1.24. 25 32 27
24 26 25 26 30 25 26 24 30
22 30 32 28 31 28 32 34 22
1.25. 25 25 22 1.26. 26 30 36 1.27. 27 30 28
24 26 26 28 36 25 26 24 30
29 30 32 23 31 25 30 35 32
1.28. 25 26 28 1.29. 26 30 34 1.30. 25 30 26
28 26 29 25 32 25 26 25 30
29 30 30 28 34 25 30 32 34
2. Матрица распределения чистой продукции:
2.1. 15 20 12 10 2.2. 20 25 10 15 2.3. 10 14 20 15 2.4. 15 20 10 15
11 22 15 10 12 23 16 10 15 25 16 10 10 26 15 28
25 20 12 15 10 20 15 15 10 24 25 15 20 25 10 15
2.5. 20 26 15 10 2.6. 22 25 16 18 2.7. 12 15 10 20 2.8. 10 20 15 17
12 14 20 18 13 15 21 19 14 16 22 25 15 25 23 28
21 26 11 15 22 27 12 16 23 28 13 17 24 28 14 18
2.9. 11 21 16 18 2.10. 25 17 19 15 2.11. 14 15 20 23 2.12. 12 15 16 20
16 20 24 25 17 21 25 20 18 22 26 21 19 23 20 10
20 25 15 10 21 25 15 18 22 25 10 20 23 26 14 12
2.13. 11 21 16 18 2.14. 25 17 19 15 2.15. 4 15 20 23
16 20 24 25 17 21 25 20 18 22 26 21
20 25 15 10 21 25 15 18 22 25 10 20
2.16. 12 21 19 17 2.17. 25 28 19 15 2.18. 14 15 20 25
16 20 24 25 19 21 25 20 18 24 26 24
20 23 15 10 21 25 15 22 20 25 15 20
2.19. 15 24 19 14 2.20. 24 18 17 19 2.21. 24 25 20 29
16 20 26 25 19 21 25 20 18 24 26 24
20 28 15 16 27 26 15 26 22 26 25 28
2.22. 19 23 19 17 2.23. 25 23 19 25 2.24. 24 25 20 27
18 20 25 27 20 21 29 20 28 25 26 28
20 24 25 20 24 25 15 28 20 25 25 20
2.25. 19 24 20 24 2.26. 26 18 26 19 2.27. 25 26 20 23
20 20 26 29 29 21 22 20 18 24 26 27
24 29 15 26 27 28 15 28 20 28 25 23
2.28. 20 24 20 25 2.29. 24 28 26 20 2.30. 24 28 20 27
21 23 26 24 27 22 22 22 28 26 23 25
24 29 15 28 25 26 16 28 20 28 25 28
3. Матрица затрат ресурсов (фонд заработной платы, материалы, э/энергия, износ оборудования):
3.1. 25 20 15 30 3.2. 26 21 15 30 3.3. 27 22 15 25 3.4. 20 25 23 30
21 26 25 30 22 20 25 30 20 30 18 40 22 30 26 35
20 27 35 40 25 15 30 35 26 20 19 30 25 24 20 40
3.5. 21 26 25 33 3.6. 22 27 30 35 3.7. 23 25 26 32 3.8. 24 26 15 30
23 25 20 30 25 20 27 30 20 23 18 30 25 29 10 35
20 22 18 35 20 15 19 25 22 20 27 35 20 15 22 25
3.9. 20 22 25 30 3.10.15 20 23 27 3.11.32 25 19 27 3.12.25 17 20 30
19 26 29 30 20 28 29 30 27 22 21 30 19 20 28 35
18 25 16 35 22 27 19 35 26 23 24 35 18 25 24 33
3.13.21 22 25 30 3.14.15 21 23 27 3.15.32 24 19 27 3.16.25 17 20 30
19 27 29 31 20 28 30 31 27 21 21 30 19 20 26 35
18 26 16 35 22 28 19 35 26 23 24 36 18 25 24 33
3.17.20 20 15 33 3.18.29 23 15 30 3.19.25 22 15 25 3.20.26 24 25 33
21 22 25 30 22 20 25 29 20 33 28 40 22 33 26 32
20 27 30 20 24 15 32 35 26 24 19 30 28 24 20 40
3.21.21 22 25 30 3.21.15 24 23 27 3.22.33 25 19 28 3.23.26 18 24 32
19 29 27 31 20 28 30 31 27 29 21 30 20 22 26 35
18 26 16 35 24 28 19 36 26 23 24 32 18 25 25 30
3.24.24 26 25 30 3.25.18 24 23 27 3.26.30 25 19 27 3.27.26 20 24 30
19 27 27 30 25 28 30 34 27 30 24 30 20 22 28 35
18 25 16 35 24 28 20 36 26 23 25 32 26 25 25 31
3.28.24 26 25 30 3.29.18 24 23 27 3.30.30 26 29 28 .
19 27 25 30 25 28 30 34 25 30 24 30
18 25 16 35 24 28 20 36 24 23 25 35
Задание 2. Mежотраслевые модели
Пусть народное хозяйство условно разделено на три отрасли. На плановый период заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор конечного продукта Yi и затраты живого труда Li.
Требуется:
1.Составить балансовые уравнения производства.
2.Определить плановые задания по выпуску валовой продукции каждой отрасли.
3. Рассчитать величину межотраслевых потоков.
4. Определить условно-чистую продукцию отраслей.
5. Составить таблицу межотраслевого баланса для рассматриваемых трех отраслей народного хозяйства.
6. Найти точные значения коэффициентов полных материальных затрат.
7. Записать выражение валовой продукции отраслей через их конечную продукцию.
8. Рассчитать приближенно коэффициенты полных затрат первой, второй и третьей отраслей на производство единицы продукта второй отрасли с точностью до косвенных затрат второго порядка включительно.
9. Определить, как изменится объем производства в отраслях, если объемы конечного потребления изменились следующим образом: в первой отрасли конечный продукт увеличился на 20%, во второй не изменился, в третьей уменьшился на 15%.
10. Найти прямую и полную трудоемкость.
Таблица 3.3
Варианты