Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины
Заданы три массива результатов измерений одной и той же физической величины (ФВ). Данные получены при многократных измерениях с применением одной или трех разных методик выполнения измерений и приведены в порядке их получения.
Необходимо выполнить статистическую обработку каждого массива, рассчитать доверительные границы и провести сравнительный анализ массивов.
Результаты с явно выраженными грубыми погрешностями подлежат цензурированию. Подозрительные результаты не цензурируют, их наличие фиксируют для последующей статистической проверки. Оценки числовых характеристик результатов измерений включают предварительные оценки погрешностей измерений, например, значения размахов до цензурирования и после него R’, значения закономерного изменения результатов (характеристики приписанной тенденции) монотонное изменение a или амплитуда A, значение размаха частично исправленных результатов после приписывания тенденции R. Могут быть использовани и другие предварительные оценки. Оценки по диаграмме получают с учетом ее масштаба.
Далее надо выполнить статистическую обработку результатов измерений (в случае, если в серии нет переменной систематической составляющей) или отклонений результатов измерений от принятой аппроксимации (если в серии есть переменная систематическая составляющая). Статистическая обработка результатов включает оценку вида распределения и проверку выдвинутой гипотезы по критериям согласия. Проверка нормальности распределения выполняется в соответствии с ГОСТ 8.207.
При наличии сомнительных экстремальных результатов необходимо произвести статистическую проверку и отбраковывание результатов с грубыми погрешностями. Если грубые погрешности обнаружены, после исключения дефектных результатов следует пересчитатьстатистические числовые характеристики.
По окончании статистической обработки следует представить результаты измерений в формах, установленных нормативными документами (с указанием оценки погрешностей в соответствии с формами представления по МИ 1317–86 и с указанием неопределенности в соответствии с требованиями. В дополнение к стандартным формам обязательно следуетпредставить графические интерпретации результатов измерений с разными (0,95 и 0,99) значениями доверительных вероятностей.
Дополнительные задачи решают в упрощенном варианте. Так при анализе оценочных шкал, использованных в ходе выполнения работы, приводят один-два примера каждого из видов шкал: «шкала порядка использована в представлении метрологических характеристик средств измерений…».
Проектирование метрологической аттестации разработанной методики выполнения измерений можно ограничить описанием структуры исследования и элементов методики исследования, например, кратким описанием применяемых для аттестации «точных объектов измерений», представленных мерами (виды мер, их метрологические характеристики и др.) или более точной методики выполнения измерений, предназначенной для аттестации объектов измерений.
В качестве результатов проектирования методики градуировки средства измерений можно представить номенклатуру средств градуировки (с указанием метрологических характеристик) и точки диапазона измерений прибора, в которых будет осуществляться «съем информации».
Анализ систематических погрешностей выбранной методики выполнения измерений, методов их исключения и оценка неисключенных остатков систематических погрешностей может существенно дополнить и уточнить оценки результатов измерений. Например, при измерении массы методом сравнения с мерой (взвешивание на равноплечих рычажных весах) неисключенными остатками систематических погрешностей можно считать погрешности каждой из мер. Предельные значения этих погрешностей берут из стандарта на гири, исходя из использования при измерении поверенных мер. Можно предложить метод исключения этих систематических погрешностей, например путем аттестации мер взвешиванием на эталонных весах. В этом случае неисключенные остатки систематических погрешностей будут обусловлены погрешностями аттестации и предельные значения этих погрешностей не превысят погрешностей измерений методики их метрологической аттестации.
Ниже приведен минимум информации, которую можно использовать при выполнении и оформлении работы. Дополнительная информация содержится в соответствующих модулях электронного конспекта лекций.
При выполнении нескольких серий многократных измерений одной и той же физической величины с использованием разных методик выполнения измерений весьма эффективно их сопоставление с помощью точечных диаграмм, построенных в одном масштабе. Анализ каждой из серий измерений включает оценку тенденций изменения результатов измерений и оценку размахов Ri отдельно по каждой серии.
О правильности измерений можно судить по значениям размахов Ri и по числовым характеристикам тенденций изменения результатов. Можно ожидать высокой правильности только в той серии, в которой минимальны размахи и практически отсутствуют тенденции изменения результатов.
Все характеристики двух серий измерений визуально сопоставимы только при одном масштабе точечных диаграмм. Примеры сравнительного анализа двойных диаграмм, рассмотрены в соответствующем лекционном модуле.
Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум – в исключении переменных систематических составляющих. Поскольку любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей. Методы выявления и оценки систематических погрешностей и методы оценки неисключенных остатков систематических погрешностей, рассмотрены в соответствующих модулях лекционных материалов.
Исключение переменных систематических составляющих («частичное исправление результатов измерений») позволяет получить достоверные оценки случайных составляющих рассматриваемой серии измерений. При «частичном исправлении» серий измерений с переменными тенденциями корректную точечную оценку результатов измерений для рассматриваемой серии получить невозможно, поскольку «среднее значение», воспроизведенное аппроксимирующей линией, изменяется. Отклонения для статистической оценки случайных погрешностей отсчитывают от «текущего среднего» значения.
Оценки отклонений от аппроксимирующей линии проще всего получить с использованием точечной диаграммы. Отклонения отсчитывают в направлении оси ординат с учетом масштаба точечной диаграммы. В таком случае статистической обработке подвергают не сами исправленные результаты измерений, а только отклонения от «текущего среднего» значения.
Рассмотрим порядок статистической обработки отклонений от «текущего среднего» значения для серии прямых равнорассеянных измерений одной и той же физической величины.
Подготовка массива результатов наблюдений (многократных измерений) к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-минимум состоит в исключении из результатов измерений переменных систематических составляющих, задача-максимум – в исключении всех систематических составляющих. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей были рассмотрены ранее. Следует вспомнить, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей.
Невыявленные систематические погрешности – результат невнимательности или низкой квалификации метролога и обсуждению не подлежат. Неисключенные остатки систематических погрешностей следует оценить и сопоставить со случайной составляющей, чтобы признать пренебрежимо малыми или (при необходимости) учесть в представлении результатов измерений как это описано ниже.
Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же величины.
Обработку начинают с расчета среднего арифметического значения исправленных результатов наблюдений Ã (получение точечной оценки результата измерения)
n
à = (Σ xi.) /n
i =1
где хi – i-й результат наблюдения;
Затем возможно выполнение двух промежуточных операций для проверки правильности расчетов Ã:
Расчет отклонений Vi результатов наблюдений от среднего арифметического значения
Vi = Ã – xi .
Расчет суммы отклонений (отклонения суммируют с учетом знаков)
n
Σ Vi. ≈ 0
i =1
Если сумма отклонений практически равна нулю, расчеты значений Ã и Vi можно считать правильными, в противном случае необходимо перепроверить расчеты.
Расчет оценки с к о результатов наблюдений
где 
– точечная оценка результата измерения;
n – число результатов наблюдений;
– оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.
Далее при необходимости и возможности выполняют проверку гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.
При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона c2 или Мизеса-Смирнова w2. При 50 > n > 15 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (обозначим его W), механизм использования которого представлен в справочном приложении 1 ГОСТ 8.207.
Проверки по критериям согласия проводят с уровнем значимости q от 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.
При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.
В случае обнаружения подозрительных результатов проводят статистическую проверку наличия/отсутствия результатов с грубыми погрешностями.
При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ
|Vextr| > 3σ.
Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с первого шага.
Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценку с к о среднего арифметического значения) определяют из зависимости
,
где хi – i-й результат наблюдения;
– результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);
n – число результатов наблюдений;
– оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.
При наличии ранее рассчитанного значения S можно воспользоваться той же зависимостью, представленной в виде
___
S(Ã) = S /√ n
Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности ε результата измерения рассчитывают из зависимости
,
где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n (находят из таблицы 8.1, взятой из справочного приложения 2 ГОСТ 8.207).
В случае отсутствия значимых неисключенных систематических составляющих погрешности за значения границ погрешности результата измерения Δ принимают полученное значение ε.
Таблица 8.1 – Значение коэффициента t для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы
| n-1 | Р=0,95 | Р=0,99 | n-1 | Р=0,95 | Р=0,99 |
| 3,182 | 5,841 | 2,120 | 2,921 | ||
| 2,776 | 4,604 | 2,101 | 2,878 | ||
| 2,571 | 4,032 | 2,086 | 2,845 | ||
| 2,447 | 3,707 | 2,074 | 2,819 | ||
| 2,365 | 3,499 | 2,064 | 2,797 | ||
| 2,306 | 3,355 | 2,056 | 2,779 | ||
| 2,262 | 3,250 | 2,048 | 2,763 | ||
| 2,228 | 3,169 | 2,043 | 2,750 | ||
| 2,179 | 3,055 | ∞ | 1,960 | 2,576 | |
| 2,145 | 2,977 |
Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями. Иногда принимают Р = 0,99 если существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента или имеются иные причины.
При числе степеней свободы более 30, что приравнивается к бесконечности, чаще всего используют округленные значения коэффициента t, принимая t ≈ 2 при Р = 0,95 и t ≈ 2,6 при Р = 0,99, а при вероятности свыше 0,99 для простоты принимают t ≈ 3.
Далее при наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θi рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности
Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные методические систематические погрешности, погрешности средств измерений и погрешности от других источников.
В качестве границ частных неисключенных систематических погрешностей принимают, например, пределы допускаемых погрешностей используемых мер (гирь, концевых мер длины) и/или других средств измерений, если эти погрешности представлены в их паспортах или иных документах. При использовании аттестованных средств измерений, если в результаты измерений вносится взятая из аттестата поправка, границей частной неисключенной систематической погрешности считают предельную погрешность аттестации.
Суммирование составляющих неисключенной систематической погрешности результата осуществляют на основе допущения о том, что все неисключенные систематические погрешности можно рассматривать как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений этих величин, их распределения принимают за равновероятные. Такое распределение приписывают погрешностям, поскольку его можно считать наихудшим из возможных вариантов.
Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции всех неисключенных систематических погрешностей. Эти границы (без учета знака) можно вычислить с использованием зависимости
,
где Θi – граница i-й неисключенной систематической погрешности;
k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.
Значение коэффициента kпри выбранной доверительной вероятности Р= 0,95 принимают равным 1,1.
Значение доверительной вероятности для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают таким же, как и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.
При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m > 4). Если число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику (рисунок 8.1) зависимостей k = f (m, l), представленному в стандарте ГОСТ 8.207.
Значение аргумента l рассчитывают по формуле
,
где Θ1 – составляющая, наиболее отличающаяся от других числовым значением,
Θ2 – составляющая, ближайшая к Θ1.
| Рисунок 8.1 – Графики зависимостей k =f (m, l): кривая 1 для m = 2; кривая 2 для m = 3 и кривая 3 для m = 4 |
Неисключенные систематические погрешности считают пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей если их значение менее 0,8 S(Ã). В таком случае принимают, что граница погрешности результата измерения Δ = ε.
Если значение неисключенной систематической погрешности превышает 8,0 S(Ã), то пренебрегают случайной погрешностью как пренебрежимо малой по сравнению с систематической и принимают, что граница погрешности результата Δ = Θ.
В стандарте говорится, что погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения (случайной или неисключенной систематической), при выполнении указанных неравенств, не превышает 15 %.
Если отношение неисключенной систематической составляющей погрешности к случайной находится между двумя указанными пределами, т.е.
0,8 ≤ Θ/S(Ã) ≤ 8,0,
то границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. В таком случае допускается границы погрешности результата измерения Δ (без учета знака) вычислять с использованием зависимости
,
где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;
SΣ– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле
.
Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения определяют из зависимости
,
__
где Θi/√3 – оценка среднего квадратического отклонения i-й неисключенной систематической погрешности, полученная на основе ранее представленного допущения о равновероятном распределении этих погрешностей в границах ±Θi, а соответственно Θi2/3 – дисперсия этого отклонения.
Описание результата измерений должно осуществляться в одной из стандартных форм, регламентированных МИ 1317–86
Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:
· точечную оценку результата измерения;
· характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);
· указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.
Из перечисления следует, что МИ 1317–86 требует включения либо «характеристик погрешности измерений», либо их статистических оценок. Под «характеристикой погрешности измерений» понимают их оценки, заимствованные из аттестованной или стандартизованной МВИ.
В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии, полученное после исправления результатов наблюдений.
Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).
Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки:
· среднее квадратическое отклонение погрешности;
· среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;
· среднее квадратическое отклонение систематической погрешности;
· нижняя граница интервала погрешности измерений;
· верхняя граница интервала погрешности измерений;
· нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;
· верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;
· вероятность попадания погрешности в указанный интервал.
Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.
Качественные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений в соответствии с МИ 1317–86 считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.
Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: «трап.» (при трапециевидном распределении) или «равн.» (при равновероятном).
В описание состава условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.
Требования к оформлению результата измерений:
· наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;
· характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;
· допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда от 5 и более и в меньшую сторону при отбрасывании цифры меньше 5.
Примеры форм представления результатов измерений:
1. (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.
2. 32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.
3. (32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 класса точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 класса точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температурный режим измерений ± 2 оС.
4. 72,6360 мм; Δн= – 0,0012 мм, Δв= + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95.
о
5. 10,75 м3/с; σ(Δ) = 0,11 м3/с, σ(Δс) = 0,18 м3/с, равн. Условия измерений: температура среды 20 оС, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 –6 м2/с.
В пятом примере не указано значение доверительной вероятности, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Однако противоречие не принципиальное, а скорее кажущееся, поскольку переход к оценке границ областей рассеяния случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности измерений требует выбора доверительной вероятности. Расчет осуществляется через коэффициент Стьюдента t, а его значение зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих (случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности).
Простейшая форма представления результатов измерений, предложенная ГОСТ 8.207 для случая симметричной доверительной погрешности
,
где 
– точечная оценка результата измерения,
Δ – доверительная граница результата измерений,
Р – доверительная вероятность.
Числовое значение точечной оценки результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Δ.
При отсутствии данных о видах функций распределений случайных и неисключенных систематических составляющих погрешности, результаты измерений можно представить в форме
В случае если границы неисключенной систематической погрешности вычислены как композиция неисключенных частных систематических погрешностей, следует дополнительно указывать принятую в расчетах доверительную вероятность Р.
Эту форму нельзя считать окончательной, очевидна необходимость анализа погрешностей и дальнейшей обработки результатов для представления их в нормированном виде, соответствующем требованиям МИ 1317-86.