Похідна функція, що задана параметрично

Нехай Виключити параметри t, то функція виражається явно.

похідна функція, яка задана параметрично, визначається так:

 

Приклад: = 3t2;

 

Приклад: Знайти похідну функції

Щоб знайти похідну від неявної функції F (x, y) = 0, досить взяти похідну від кожної частини рівняння і визначити звідти розглядаючи у як функцію від х, наприклад.

х2 + у2 = R2; 2x + 2y ∙y = 0; y= -

Нехай маємо функцію у = ах, а > 0, а ≠ 1. Покажемо, що y = аlna.

Про логарифмуємо функцію і візьмемо похідну з обох частин.

ln y = ln aх, =

 

Практична робота по темі:

Загальна схема дослідження функції

Мета:студенти повинні навчитись використовувати похідну для дослідження деяких функцій.

Студенти повинні знати: означення похідної , необхідні та достатні умови існування диференційованості .

Студенти повинні вміти:виконувати дослідження функції за допомогою похідної

Література:Л – 1, стор. 246 –266 ., Л – 2, стор. 98 – 105

Л – 6, стор. 286 - 316, Л – 10, стор. 84 – 96,

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) За якою схемою досліджують функцію?

b) Які існують умови зростання і спадання функції?

c) Як знаходять точки екстремуму?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків

Дослідження та побудова графіка функції рекомендується проводити за схемою:

1) знайти область існування функції D (f);

2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву, якщо вони існують, і знайти односторонні границі в точках розриву;

3) з’ясувати, чи функція парна чи непарна, чи ні та, ні та;

4) знайти точки екстремуму функції і записати інтервали зростання і спадання функції;

5) знайти точки перетину графіка функції і визначити інтервали випуклості та вгнутості графіка;

6) знайти асимптоти графіка функції, якщо вони існують;

7) побудувати графік функції, використовуючи отримані результати, за необхідності можна додатково знаходити точки графіка, надаючи аргументу х ряд значень, та отримати відповідні значення у.

 

Практична робота по темі:

Визначення похідних функції багатьох змінних

Практична робота по темі:

Методи інтегрування.

Мета:студенти повинні навчитись знаходити інтеграли.

Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти:користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли , інтеграли за допомогою методу підстановки

Література:Л – 1, стор. 330 – 336 ., Л – 6, стор. 326

Л – 10, стор.119 – 124, Л – 2, стор. 134– 141 .

Хід роботи

  1. Повторення раніше вивченого.

a) Що називають інтегралом?

b) Сформулювати теорему про існування первісної.

c) Які основні властивості невизначеного інтегралу ?

  1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Заміна змінної (метод підстановки) в невизначеному інтегралі

Нехай потрібно знайти інтеграл , причому безпосереньо підібрати первісну для неможливо, хоч знаємо що вона існує. Зробимо заміну (деякий вираз приймаємо за t а решта за d(t)) тобто x = φ(t), де – неперервна функція з неперервною похідно, яка має обернену.

Тоді dx = φ’(f) dt. Маємо рівність

Заміну х = вибирають так, щоб можна було обчислити невизначений інтеграл який є в правій частині рівності

 

Приклад 1. Знайти інтеграл

 

Розв’язання.Зробимо заміну t = sinx, тоді dt = cos dx.

Маємо

 

Приклад 2.Знайти інтеграл

 

Розв’язання.Нехайt = 1 + x2, тоді dt = 2xdx.

Маємо

 

Інтегрування по частинах

Нехай u і v - дві диференційовані функції від х. Тоді диференціал добутку рівний d(uv) = udv vdu.

Інтегруючи цю рівність, отримуємо

або

Приклад.Знайти інтеграл

 

Розв’язання.Інтегруючи частинами, отримаємо

 

 

Приклад.Знайти інтеграл

 

Розв’язання.Інтегруючи частинами, отримаємо

Практична робота по темі:

Інтегрування раціональних функцій

Мета:студенти повинні навчитись виконувати інтегрування раціональних функцій

Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти:користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли , інтегрувати функції, які містять раціональні функції.

Література:Л – 1, стор. 352 –355 ., Л – 2, стор. 142 – 147

Л – 6, стор. 330 - 333, Л – 10, стор. 131– 135.

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Яку дію називають інтегруванням?

b) Як розкласти правильний дріб на доданки ?

c) Яка схема інтегрування раціональних функцій?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

1) 2)

3) 4)

 

1. В інтегралі

2. Інтеграл виду

Отже

 

3. Інтеграл виду виділенням повного квадрату підкореневого виразу зводиться до видів: при а >0, або при а < 0, які розглядались як табличні («довгий» логарифм, або арксинус).

4. Інтеграл виду зводиться до суми двох

Перший інтеграл типу а другий є не що інше як

( не враховуючи сталих коефіцієнтів що є перед інтегралами)

Приклад.Знайти інтеграл .

Розв’язання.Враховуючи, що

 

Послідовно дістаємо:

Приклад.Знайти інтеграл

Розв’язання.Простими перетвореннями зробимо в чисельнику похідну знаменника і розіб’ємо інтеграл на суму двох інтегралів.

Практична робота по темі:

Застосування інтегралів.

Мета:студенти повинні навчитись обчислювати визначені інтеграли.

Студенти повинні знати:таблицю інтегралів та методи інтегрування, формулу Ньютона-Лейбниця.

Студенти повинні вміти:використовувати визначний інтеграл для розв’язування різноманітних задач.

Література:Л – 1, стор. 362 – 411, Л – 6, стор. 355 – 410 .

Л – 10, стор.140 – 166, Л – 2, стор. 161– 175 .

Хід роботи

  1. Повторення раніше вивченого.

a) Дайте означення визначеного інтеграла?

b) Перерахуйте основні властивості визначеного інтеграла .

c) В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу ?

  1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Якщо на відрізку функція , то як відомо, площа криволінійної трапеції обмеженою кривою , віссю та прямими , рівна .

Якщо ж на , то визначений інтеграл . За абсолютною величиною він рівний площі відповідної криволінійної трапеції

Якщо потрібно обчислити площу, обмежену кривими і прямими , за умови, що , то досить обчислити інтеграл

.

Приклад 1.Знайти площу, обмежену кривими .

Розв’язання.Знаходимо точки перетину кривих прирівнюючи функції

Отже враховуючи (7), маємо

Приклад 2.Знайти об’єм тіла обертання, утвореного обертанням еліпса навколо осі.OX

Розв’язання.Шуканий об’єм рівний . Знайдемо з рівняння еліпса .

Враховуючи (7) об’єм тіла обертання рівний

Приклад 3.Знайти довжину кардіоїди .

Розв’язання.Спочатку побудуємо кардіоїду, надаючи

значення кута .

  Знайдемо . Змінюючи від 0 до , отримаємо половину шуканої довжини Отже, маємо

Практична робота по темі:

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Мета:студенти повинні навчитись обчислювати диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Студенти повинні знати: означення диференційних рівнянь, методи розв’язання таких рівнянь, таблицю інтегралів..

Студенти повинні вміти:розв’язувати рівняння І – го порядку, диференціальні рівняння з відокремленими змінними, однорідні диференційні рівняння.

Література:Л – 1, стор. 421 - 3455 Л – 6, стор. 426 -435 ,

Л – 10, стор.174 -177, Л – 2, стор. 181 – 190 .

Хід роботи

  1. Повторення раніше вивченого.

a) Які рівняння називають диференційними?

b) Які види розв’язків має диф.рівняння ?

c) Як розв’язуються диференціальні рівняння з відокремленими змінними?

  1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Рівняння з відокремленими змінними

Якщо диференціальне рівняння першого порядку може бути представлене P (x) dx = Q (y) dy

де P (x) і Q (y) – функції лише однієї змінної.

Про інтегрувавши обидві частини, отримуємо загальний розв’язок (загальний інтеграл)

Однорідні диференціальні рівняння

Однорідним рівнянням називають рівняння у = f(x,y) права частина якого f(x,y) є однорідною функцією нульового виміру відносно х та у. яка задовольняє умову f(tx, ty) = tk f(x,y), де k – вимір або степінь однорідності.

Якщо k = 0, маємо функцію нульового виміру. Однорідну функцію нульового виміру завжди можна представити як функцію відношення змінних або . ( Це рівноцінно тому, що або ).

При його інтегруванні вводиться нова змінна або , що веде до рівняння з відокремленими змінними.

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння ( ех + 2) у = уех;

Розв’язання.Враховуючи, що у' = , можна відокремити змінні в рівнянні

( ех + 2) = уех;

Інтегруючи обидві частини, матимемо

звідси, у = с(ех +2) – загальним розв’язок заданого ДР.

 

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1+у2)dх-хуdу=0

Розведемо змінні в рівнянні (1+у2)dх = хуdу

 

проінтегруємо кожну частину

 

 

 

Приклад.Розв’язати рівняння ху = х + у.

 

Розв’язання.Поділимо обидві частини рівняння на х, маємо . Перевіримо функцію на однорідність f(x,y) = ; f(tx, ty) =1 отже права частина рівняння однорідна функція нульового виміру. Введемо нову змінну , тоді у = ux; . Підставляючи це у вихідне рівняння, отримаємо

.

Отже . Тоді загальний розв’язок рівний .

 

Практична робота по темі:

Диференціальні рівняння вищих порядків

 

Практична робота по темі:

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами