Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Рассмотрим степень 
с комплексным показателем z = χ + iy, где e = 2,7182… – основание натурального логарифма, то 
= 
, т.е.
= 
(11)
Если х = 0, то получим соотношение, которое называется формулой Эйлера
= 
(12)
Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. 
. При z = 0получим соотношение 
.
Тригонометрическую форму комплексного числа z = r( 
можно записать виде: z = r 
, 
= r 
(13)
Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа.
Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями:
1) Правило: При умножении чисел показатели складываются.
r1 
(14)
2) Правило:При делении чисел показатели вычитаются.
(15)
3) Правило:При возведении в степень показатели перемножаются.
(r )n = 
(16)
* 
(k = 0,1,2,…,n – 1) (17)
Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим
= 
= 
Складывая и вычитая эти равенства, получим:
(18)
(19)
Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера.Они выражают тригонометрические функции через показательные.
Пример 11:Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 
i.
Решение: Используя формулу (5), находим r = 
= 4. По формуле (13) найдём
= 
; 
= 
.По формуле (18) и (19) вычислим значение 
= - 
и 
= 
, т.о. φ = - 
Ответ: z = 4 
У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:
1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i.
2. Решите квадратные уравнения: а) х2 + х + 1 = 0; б) х2 + 1 = 0
3. Даны два числа z1 = 2 + 3i; z2 = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел.
4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.
5. Дано z1 = 
z2 = 
Найдите z1z2
6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i.
7. Дано z1 = 2e – I; z2 = 0.5e0.5i. Найдите: z1z2
Ответы:1.а) r = 
; φ = 
. б) r = 
; φ = - . 2. а) - 
; б) . 3. 3 + I и 1 + 5i. 4. x = - 
; y = 
. 5. 
( 
). 6. 2 
. 7. e- 0.5i.
Пределы.
Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут 
= А. 
Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если 
= 0
Пример1: 
Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если = ± ∞.
Пример2: 
.
Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:
1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то 
- бесконечно большая функция.
2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то - бесконечно малая функция.
Теоремы о пределах.
Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):
(f(х) + g(х))= 
+ 
g(x).
Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):
(f(х) * g(х))= 
f(x)*. 
Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х):
Следствия.
Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Следствие 2:Предел степени равен степени пределов.
= ( 
)n.
Следствие 3: 
= с.