Функции от случайных величин. Формула свертки
Задача 1. Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины 
.
Решение.
Из условия задачи следует, что
Далее, функция 
является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию 
, производная которой равна 
Кроме того, 
, 
. Следовательно,
Значит,
Задача 2.Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника 
. Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника 
равна 
(см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
Событие 
соответствует множеству 
на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность
Рис. 7.1.
На полуплоскости B совместная плотность 
равна нулю вне множества и 1/2 – внутри множества . Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: 
и 
. Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам 
и 
, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
.
Если задана совместная плотность распределения случайной пары (x,h), то плотности 
и 
составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство
.
Задача 3.В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.
Решение. Вычислим частные плотности и . Имеем:
Аналогично,
Очевидно, что в нашем случае 
, и потому случайные величины x и h зависимы.
Числовые характеристики для случайного вектора (x,h) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть 
— совместная плотность величин x и h, а y(х,у) — функция двух аргументов, тогда
.
В частности,
Задача 4. В условиях предыдущей задачи вычислить 
.
Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:
.
Представив треугольник в виде
,
двойной интеграл можно вычислить как повторный:
Задача 5.Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром 
. Вычислить плотность суммы 
.
Решение. Поскольку x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Следовательно,
Поэтому
Если x<0, то в этой формуле аргумент функции 
отрицателен, и поэтому 
. Следовательно, 
Если же 
, то имеем:
Таким образом, мы получили ответ:
Задача 6. Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение x при условии h=y и функцию регрессии jx|h(y).
Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),
и 
Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность:
Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем jx|h(y)=(2–y)/2, 0<y<2.