Физические основы функционирования трансформаторов
Функционирование трансформаторов основано на связи цепей через магнитный поток (рис. 2.36).
При подключении к первичной обмотке, имеющей W1 витков, переменного напряжения u1, = U1m sin(ώ*t) в ней появляется переменный ток i1(t) и возникнет магнитный поток Ф1(t) который в основном будет замыкаться через магнитопровод и пронизывать витки как первичной, так и вторичной обмотки, имеющей W2 витков, в результате чего в первичной обмотке индуцируется ЭДС e1(t), а во вторичной — e2(t). Наличие ЭДС e2{t) вызовет появление тока i2(t) во вторичной обмотке, и на нагрузочном резисторе RH появится напряжение u2(t). Ток i2(t) создаст магнитный поток Ф2(t)- направленный навстречу потоку Ф2(t) в результате чего в магнитопроводе установится результирующий магнитный поток ФC(t) Незначительная часть потока, создаваемого током i1(t) замыкается не через магнитопровод, а через воздух. Этот поток называется потоком рассеяния Фs1(t), точно так же существует поток рассеяния вторичной обмотки Фs2(е). В правильно сконструированном трансформаторе потоки рассеяния ничтожно малы, и ими можно пренебречь.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение щ(1) должно быть равно сумме падения напряжения на активном сопротивлении провода первичной обмотки и двух ЭДС, обусловленных потоками Фс(t) и Фsi(t), сцепленными с первичной обмоткой:
(2.58)
Соответственно, для вторичной обмотки
(2.59)
Значение ЭДС, индуцируемой в первичной обмотке, определяется скоростью изменения магнитного потока:
Действующее значение этой ЭДС [В] равно
(2.60)
Магнитный поток Фm можно выразить через индукцию Вт:
где Sc — площадь поперечного сечения сердечника, см2.
Тогда величина ЭДС первичной обмотки равна
(2.61)
Соответственно, ЭДС вторичной обмотки равна
(2.62)
Из соотношений (2.61) и (2.62) следует:
Это отношение называют коэффициентом трансформации.
Используя уравнение Кирхгофа и произведя пересчет параметров из вторичной цепи в первичную и переход к действующим значениям токов и напряжений, можно составить эквивалентную схему трансформатора (рис. 2.37), в которой 
, 
, 
, 
, 
.
L1 представляет собой индуктивность [мкГн] первичной обмотки, которая равна
(2.63)
где μС — магнитная проницаемость сердечника, зависящая от значения индукции, В;
SС — площадь поперечного сечения сердечника, см2;
lC — средняя длина силовой линии в сердечнике, см.
Резистор RII, учитывает потери в сердечнике на вихревые токи и перемагничива-ние.
Ток I1 протекающий через первичную обмотку трансформатора, содержит активную составляющую I1a и реактивную составляющую I1р:
(2.64)
Активная составляющая тока определяется потерями в сердечнике РC, потерями в меди РM и мощностью, потребляемой нагрузкой, подключенной к вторичной обмотке:
(2.65)
Реактивная составляющая тока первичной обмотки определяется реактивным сопротивлением обмотки:
(2.66)
Подставляя величину L1 (2.63) и U ≈ E1 (2.61), получим:
(2.67)
где k — числовой коэффициент, получающийся в ходе подстановки (2.61) и (2.63) в (2.66). Он характеризует функциональную связь между индукцией и напряженностью магнитного поля Hс, следовательно,
Значит, уравнение (2.67) может быть представлено в виде
(2.68)
Следовательно, изменяя напряженность магнитного поля Нс, выраженную в ампер-витках на сантиметр, можно изменять значение реактивного тока I1р.
При расчете трансформаторов обычно выбирают оптимальное значение Вт, исходя из необходимости получения наименьших потерь в сердечнике. Поэтому по известной величине Вт определяют требуемую напряженность поля Нс (рис. 2.38), измеряемую в ампер-витках.
Потери в трансформаторах
Под потерями в трансформаторе понимают затраты мощности на нагрев обмоток, перемагничивание и вихревые токи в сердечнике. В конечном счете, мощность потерь выделяется в виде тепла, которое должно быть рассеяно в окружающую среду.
Потери на вихревые токи зависят от удельного сопротивления материала сердечника и от частоты магнитного поля. Чтобы уменьшить эту составляющую потерь, применяют специальные трансформаторные стали с большим удельным сопротивлением. Кроме того, сердечники изготовляют из тонких листов, изолированных друг от друга. Чем выше частота тока, тем больше потери на вихревые токи, поэтому сердечники трансформаторов, работающих на высоких частотах, делают из более тонкого металла.
Потери на перемагничивание (гистерезис) зависят от максимальной индукции в сердечнике: чем больше индукция, тем больше площадь петли гистерезиса и тем больше потери. Обычно при расчетах потери на перемагничивание и вихревые токи не разделяют, и свойства материала оценивают удельными потерями Рc.уд, то есть потерями, отнесенными к 1 кг материала:
(2.69)
где а — эмпирический коэффициент; z = 2-3.
Потери в сердечнике зависят от массы сердечника Gc:
(2.70)
На рис. 2.39 представлены эмпирические зависимости удельных потерь от индукции.
Значение индукции можно определить из (2.61), приняв ЭДС индукции равной подводимому напряжению U1.
(2.71)
Из (2.71) следует, что, увеличивая число витков первичной обмотки трансформатора и площадь сечения сердечника, можно снизить индукцию Вт, а следовательно, потери в сердечнике.
Потери на нагрев обмоток определяются соотношением
(2.72)
где ρ — удельное сопротивление провода;
l1, и l2 — длина провода первичной и вторичной обмоток соответственно;
SП1 и SП2 - площадь поперечного сечения проводов первичной и вторичной обмоток, соответственно.
Длина провода равна
(2.73)
где lCP — средняя длина витка, зависящая от типа сердечника и расположения на нем обмотки.
Площадь поперечного сечения провода можно выразить через площадь окна S0, занимаемую медью соответствующей обмотки:
(2.74)
Подставляя l, l2, SП1 и SП2 в (2.72), легко установить, что потери в меди пропорциональны квадрату числа витков, а число витков, как это следует из (2.71), обратно пропорционально индукции Вт. Следовательно,
(2.75)
Из того, что с ростом индукции Вт потери в сердечнике возрастают (2.69), а потери в меди уменьшаются (2.75), следует, что существует такое значение индукции, при котором суммарные потери в трансформаторе минимальны (рис. 2.40).
Это значение зависит от свойств материала сердечника, частоты подводимого напряжения и ряда других причин (мощности трансформатора, размещения на нем обмоток и т. д.), В табл. 2.8 приведены полученные экспериментально оптимальные значения индукции, которыми руководствуются при расчете трансформаторов.
Таблица 2.8Оптимальные значения максимальной индукции