Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы 11
Содержание
Техническое задание на курсовую работу со схемами 3
Выбор варианта схемы 4
Расчет простой электрической цепи 6
Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений 8
Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера 9
Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы 11
1. Техническое задание
Каждому студенту в соответствии порядковым номером по журналу выбрать вариант схемы по рисунку 1. Различные конфигурации схемы образуются в зависимости от положения ключей « К1 - К5 », которые устанавливаются по номеру варианта, представленному в двоичном коде. Номера позиций единиц и нулей в номере варианта следуют слева направо.
Определить величины элементов схемы рисунка 1 и частоту генераторов с помощью следующих формул:
R = 100 [4 + 0,2 N] [Ом]; ( 1 )
С = 100 [5 + 0,2 N] [Пф]; ( 2 )
n = 2 [7 + (-1) n+N 0,2 N] [В]; ( 3 )
fn = 10 [7 + (-1)N 0,2 N] [ кГц] , ( 4 )
где N - номер студента по журналу, а n – номер элемента в схеме.
Рисунок 1 – Схема электрической цепи для выбора своего варианта
В схеме, полученной в п. 3.1., исключить (замкнуть) все источники кроме 1 и рассчитать, используя простые преобразования цепей, ток в цепи источника 1. По результатам расчета построить векторную диаграмму. Осуществить моделирование цепи с помощью программы EWB-5.12 и определить значение тока в цепи источника 1, а также напряжения на сопротивлении Zэкв и R.
Используя схему п. 3.1 рассчитать токи и напряжения на её элементах, используя формулы Крамера, а также обращение матриц. Осуществить проверку.
2. Выбор варианта схемы
Рисунок 1 – Схема электрическая цепи для выбора своего варианта.
Определяем положение переключателей К1-К5, в соответствии с номером варианта, представленном в двоичном коде.
Таблица 1-Положение ключей
| Ключи | К1 | К2 | К3 | К4 | К5 |
| Двоичная форма записи числа 2 | |||||
| Положение ключей |
Устанавливаем переключатели К1-К5 в положения, соответствующие номеру в двоичной записи (рисунок 2).
Рисунок 2 – Схема электрическая цепи своего варианта
Номинальные значения элементов определяются по формулам:
Ом, R=100[4+0.2×11]=620Ом
пФ, C=100[5+0.2×11]=720 пФ
В
E1 = 18.4 e27.2j В
E2 = 9.6 e-27.2j B
E3 = 18.4 e27.2j В
E4 = 9.6 e-27.2j B
E5 = 18.4 e27.2j В
кГц, f=10[7+(-1)11 ×0.2×11]=48 кГц
3. Расчет простой электрической цепи
Определим ток в цепи источника Е1, когда все остальные источники закорочены (удалены).
Заменим все элементы на их комплексные сопротивления (рисунок 3).
Рисунок 3 – Комплексная схема замещения
Упростим схему (рисунок 4), замещая его параллельные и последовательные соединения сопротивлений их эквивалентным сопротивлением.
Рисунок 4 – Комплексная схема замещения
Z1:=R+R Z1=1,24×103
Z2:=(R×Zc)/(R+Zc) Z2=620 – 4,605i×103
Z3=(Z1×Z2)/(Z1+Z2) Z3=1,124×103 – 287,057i
Z4:=(Z3×Zc)/(Z3+Zc) Z4=946,074 – 487,588 i
Zэкв.:=(Z×Z4)/(Z+Z4) Zэкв.:=747,783 – 579,82i
Для построения векторной диаграммы будем использовать последнюю схему, для которой вычислим токи и напряжения на каждом из элементов (R, Z3экв).
I:=E/(R+Z4экв)I=7,933×10 -3 + 9,512i×10-3
|I|=0,012 arg(I)×(180/)=50,173
UR:=IR UR=4,918 + 5,897i
|UR| =7,679 arg(UR)×(180/)=50,173
Uэкв.:=I×Zэкв, Uэкв.=11,447 + 2,513i
|Uэкв.| =7,679 arg(Uэкв.)×(180/)=12,383
arg (E)×(180/)=27,2
Построим векторную диаграмму
I
 |
UR
E1
Uэкв.
 |
Рисунок 5 – Векторная диаграмма
Для проверки правильности вычислений смоделируем цепь в программе EWB-5.12б (рисунок 6).
Рисунок 6 – Моделирование цепи
Как видно из моделирования показания амперметра и вольтметров совпали с вычислениями => вычисления правильные.
4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений
В начале составляем граф электрической схемы, по которому выбираются независимые контуры и задаются контурные токи (рисунок 7).
| |
| |
| |
 |
I1 I2 I3
 |
8 7 6 5
Рисунок 7 –Граф электрической схемы
Для этих контуров составляются уравнения по второму закону Кирхгофа с учетом совместного влияния одного контура на другой. Направление обхода во всех контурах выбираются одинаковыми (рисунок 8).
Рисунок 8 - Схема электрическая цепи для расчета токов и напряжений с указанием контурных токов, где I1, I2, I3- контурные токи цепи.
Составим систему уравнения контурных токов по 2-му закону Кирхгофа с учетом совместного влияния одного контура на другой.
I1(R+Zс)–I2Zс=E1–E2 (R+Z)I1-ZI2=E1-E2
I2(2Zс+R)–I1Zс-I3(R+Zc)=E2–E1–E3 -ZI1+(2Z+R)I2-ZI3=E2-E3
I3(Zс+R)–I2(R+Zc)=E3+E4 –E5 -ZI2+(Z+2R)I3=E4
5. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера.
Найдем значения контурных токов I1, I2, I3. Они определяются по формуле Крамера.
I=Mn/N, n=1,2,…l, где N- полный определитель матрицы, а Mn- определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями.
Определитель матрицы имеет вид:
|
|
Подсчитаем определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями:
контурные токи:
Ток контура I1=I1/N
Ток контура I2=I2/N
Ток контура I3=I3/N
6. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.
Определим эти же токи методом обращения матрицы, принимая во внимание выражение
где Z-1n- обратная матрица комплексных сопротивлений схемы, состоящая из коэффициентов
Итак, мы вычислили контурные токи другим методом, для проверки смоделируем цепь в EWB-5.12 (рисунок 9).
Рисунок 9 – Моделирование цепи
То есть значения контурных токов, посчитанные двумя разными способами, совпадают. Что свидетельствует о правильности вычислений.