Общий подход к построению уравнения регрессии на примере линейной модели

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие регрессии, регрессионной модели. Виды регрессионных моделей.

Термин регрессия применяется для описания любой статистической связи между случайными величинами.

Функция f(x1, x2, … xm), описывающая зависимость показателя от параметров называется уравнением (функцией) регрессии. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная у может быть представлена в виде функции регрессии f(x1, x2, … xm), где x1, x2, … xm – независимые (объясняющие) переменные или факторы.

В зависимости от вида функции f(x1, x2, … xm) модели делятся линейные и нелинейные.

В зависимости от количества включенных в модель факторов x модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные.

Общий подход к построению уравнения регрессии на примере линейной модели.

Рассмотрим задачу построения линейного уравнения регрессии на примере фирмы, торгующей подержанными автомобилями. В фирме постоянно ведется журнал учета проданных автомобилей. В журнале ведутся две графы: количество проданных за неделю автомобилей и номер недели (Таблица 7.1.). Это наши две наблюдаемые величины. Фирма существует только 6 недель, поэтому данные по продажам существуют только за этот промежуток времени.

Таблица 7. 1. Значения наблюдаемых величин.

Наблюдаемые величины Значения
Номер недели, х
Количество проданных автомобилей, у

Смоделируем динамику продаж, которая имеет место, а на основе построенной модели попытаемся заглянуть в будущее, т.е. спрогнозировать ожидаемый объем продаж на ближайшие недели.

Пусть, х – номер недели и у – количество проданных за неделю автомобилей. В качестве модели возьмем простейшую, т.е. линейную.

Таким образом, необходимо построить линейную модель у = kх + b, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения. Обычно параметры k и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений (разностей) теоретических (определенных по линейной модели) и наблюдаемых значений зависимой переменной (у). Следовательно, необходимо минимизировать целевую функцию:

где n — число наблюдений (в данном случае n = 6).

Для решения этой задачи:

  1. Заполним, отведенные под наблюдаемые величины диапазон ячеек А2:В7.
  2. Занесем переменные kи b в ячейкиD2 и Е2, соответственно.
  3. Ячейки С2:С7 отведем под теоретические значения у. Для этого введем в С2 формулу линейной зависимости (выбранный вид зависимости), {=$D$3*A2+$E$3}. Затем скопируем ее до ячейки С7.
  4. Задать целевую функцию можно несколькими способами.

Способ первый.

В ячейку F2 с помощью мастера функций (Категория Математическиефункция СУММКВРАЗН) введем целевую функцию {=СУММКВРАЗН(В2:В7;С2:С7)} как показано на рис.7.1.

Рис. 7. 1. Ввод целевой функции.

Способ второй.

В ячейку F2 с помощью мастера функций введем целевую функцию {=СУММ((B2:B7-D2*A2:A7-E2)^2)}. Это формула массива, поэтому не забудьте завершить ее ввод нажатием соответствующего сочетания клавиш.

  1. С помощью Поиска решения(рис. 7.2.) необходимо минимизировать значение целевой ячейки F2, изменяя значения ячеек D3:E3. Отметим, что на переменные k и b ограничения не налагаются.

 

Рис. 7. 2. Построение линейной модели с помощью средства Поиск решения.

В результате вычислений механизм Поиска решений найдет следующие значения коэффициентов: k = 1,88571 и b = 5,400. (рис. 7.3.)

Рис. 7. 3. Результат построения линейной модели.

Таким образом, уравнение регрессии для данной задачи имеет вид:

у = 1,88571 * х + 5,400.