Уравнение первого закона термодинамики для потока

Как указывалось выше, под открытыми понимаются термодинамические системы, которые кроме обмена теплотой и работой с окружающей средой допускают также и обмен массой. В технике широко используются процессы преобразования энергии в потоке, когда рабочее тело перемещается из области с одними параметрами (p1, v1)в область с другими (p2, v2). Это, например, расширение пара в турбинах, сжатие газов в компрессорах.

Будем рассматривать лишь одномерные стационарные потоки, в которых параметры зависят только от одной координаты, совпадающей с направлением вектора скорости, и не зависят от времени. Условие неразрывности течения в таких потоках заключается в одинаковости массового расхода m рабочего тела в любом сечении:

, (5.1)

где F – площадь поперечного сечения канала; с – скорость рабочего тела.

Рассмотрим термодинамическую систему, представленную схематически на рис. 5.1. По трубопроводу 1 рабочее тело с параметрами Т1, р1, v1 подается со скоростью с1 в тепломеханический агрегат 2 (двигатель, паровой котел, компрессор и т.д.). Здесь каждый килограмм рабочего тела в общем случае может получать от внешнего источника теплоту q и совершать техническую работу lтех, например, приводя в движение ротор турбины, а затем удаляется через выхлопной патрубок 3 со скоростью с2, имея параметры Т2, р2, v2. Технической называется работа, отбираемая из потока за счет каких-либо технических устройств или подводимая к нему. Следует сразу подчеркнуть, что dlтех не равна pdv, т. е. работе расширения закрытой термодинамической системы против окружающей среды.

Рис. 5.1. Открытая термодинамическая система

Выделим определенный объем рабочего тела в трубопроводе (сплошные линии I и II на рис. 5.1) и рассмотрим изменения, связанные с его перемещением в новое положение (пунктирные линии). Если наблюдатель перемещается вместе с объемом, то в системе координат, связанной с наблюдателем, потоки массы через границы объема отсутствуют и, следовательно, с точки зрения наблюдателя термодинамическая система является закрытой. Для нее справедлива запись первого закона термодинамики форме

Внутренняя энергия есть функция состояния рабочего тела, поэтому значение u1 определяется параметрами рабочего тела при входе (сечение потока I), а значение u2 – параметрами рабочего тела при выходе из агрегата (сечение II).

Работа расширения l совершается рабочим телом на поверхностях, ограничивающих выделенный движущийся объем, т. е. на стенках агрегата и границах I и II, отделяющих этот объем от остального потока. Часть стенок агрегата неподвижна, и работа расширения на них равна нулю. Другая часть стенок специально делается подвижной (рабочие лопатки в турбине и компрессоре, поршень в поршневой машине), и рабочее тело совершает на них техническую работу lтех.

При входе рабочее тело вталкивается в агрегат. Для этого нужно преодолеть давление р1. Рассмотрим отрезок времени, в течении которого в объем между сплошной и пунктирной границами втечет 1 кг рабочего тела. В стационарном режиме его столько же вытечет из агрегата. Поскольку р1=const, каждый килограмм рабочего тела может занять объем v1 лишь при затрате работы, равной lвт=-р1v1.

Для того, чтобы выйти в трубопровод 3, рабочее тело должно вытолкнуть из него такое же количество рабочего тела, ранее находившегося в нем, преодолев давление р2, т.е. каждый килограмм, занимая объем v2, должен произвести определенную работу выталкивания lвыт=р2v2.

Сумма называется работой вытеснения.

Если скорость с2 на выходе больше, чем с1 на входе, то часть работы расширения будет затрачена на увеличение кинетической энергии рабочего тела в потоке, равное . Окончательно

. (5.2)

Подставив полученное значение l в уравнение первого закона термодинамики получим

.

Поскольку , окончательно запишем:

. (5.3)

Это и есть выражение первого закон термодинамики для потока, который можно сформулировать так: теплота, подведенная к потоку рабочего тела, расходуется на увеличение энтальпии тела, производство технической работы и увеличение кинетической энергии потока.

В дифференциальной форме уравнение (5.3) записывается в виде

. (5.4)

Выше было указано, что к замкнутому объему рабочего тела, выделенному в потоке, применимо выражение первого закона термодинамики для закрытой системы, т.е. .

Сравнивая это выражение с уравнением (5.4), получим , или

. (5.5)

Величину называют располагаемой работой. Чтобы избавиться от минуса перед интегралом, пределы интегрирования поменяли местами В p,v – диаграмме (рис. 5.2) она изображается заштрихованной площадью.

Рис. 5.2. Изображение располагаемой (технической при с1=с2) работы в p,v-координатах.

Из сравнения с рис. 2.1 наглядно видно, что она отличается от работы расширения, используемой в математическом выражении первого закона термодинамики для замкнутой системы. Располагаемая работа тратится на совершение технической работы и ускорение потока.

Выражение (5.3) первого закона термодинамики для потока имеет огромное практическое применение, поскольку позволяет анализировать работу любого тепломеханического агрегата. Более того, этот закон применим и для анализа процессов течения с трением, если теплота, выделяющаяся при трении, аккумулируется рабочим телом (для упрощения изложения в данном пособии трение не учитывалось, поскольку этот неравновесный процесс формально не вписывается в рамки классической термодинамики).

Применим первый закон термодинамики для потока к различным типам тепломеханического оборудования.

Теплообменный аппарат (устройство, в котором теплота от жидкой или газообразной среды передается другой среде). Для него lтех=0, <<q, поэтому

. (5.6)

Следует подчеркнуть, что для теплообменника, установленного в потоке, это выражение справедливо не только в изобарном процессе, но и в процессе с трением, когда давление среды уменьшается из-за сопротивления.

Тепловой двигатель. Обычно <<lтех, а q=0, поэтому рабочее тело производит техническую работу за счет уменьшения энтальпии:

. (5.7)

Величину h1-h2 называют располагаемым теплоперепадом.

Их формулы (5.5) видно, что при =0, q=0 и отсутствии потерь на трение получаемая от двигателя техническая работа равна располагаемой, т.е. изображается заштрихованной площадью на рис. 5.2.

Компрессор. Компрессор – это двигатель «наоборот»: в нем рабочее тело сжимается за счет затраты технической работы. Если процесс сжатия газа в компрессоре происходит без теплообмена с окружающей средой (q=0) и с1=с2, что всегда можно обеспечить надлежащим выбором сечений всасывающего и нагнетательного воздухопроводов, то

. (5.8)

В отличие от предыдущего случая здесь h1 < h2, т.е. техническая работа в адиабатном компрессоре затрачивается на увеличение энтальпии газа. Она опять-таки изображается заштрихованной площадью на рис. 5.2.

Сопла и диффузоры. Специально спрофилированные каналы для разгона рабочей среды и придания потоку определенного направления называются соплами. Каналы, предназначенные для торможения потока и повышения давления, называются диффузорами. Техническая работа в соплах и диффузорах не совершается, поэтому уравнение (5.4) приводится к виду

.

С другой стороны, в системе координат, движущейся в потоке вместе с объемом рабочего тела, применимо выражение первого закона термодинамики для закрытой системы .

Приравняв правые части двух последних уравнений, получим

. (5.9)

Из (5.9) видно, что dc и dp всегда имеют противоположные знаки. Следовательно, увеличение скорости течения в канале (dc>0) возможно лишь при уменьшении давления в нем (dp<0). Наоборот, торможение потока (dc<0) сопровождается увеличением давления (dp>0).

Так как длина сопла или диффузора невелика, а скорость течения среды в них достаточно высока, то количество теплоты, отданной стенкам канала при малом времени их контакта, настолько незначительно, что в большинстве случаев им можно пренебречь и считать процесс истечения адиабатным (q=0). При этом уравнение (5.3) принимает вид

. (5.10)

Следовательно, ускорение адиабатного потока в соплах происходит за счет уменьшения энтальпии, а торможение потока в диффузорах вызывает ее увеличение.

Дросселирование газов и паров. Из опыта известно, что если на пути движения газа или пара в канале встречается препятствие (местное сопротивление), частично загромождающее поперечное сечение потока, то давление за препятствием всегда оказывается меньше, чем перед ним. Процесс уменьшения давления, в итоге которого нет ни увеличения кинетической энергии, ни совершения технической работы, называется дросселированием.

Дросселирование – явно неравновесный процесс. Однако, выше говорилось, что уравнение (5.3) применимо и для течения рабочего тела с трением. Поскольку в этом случае lтех=q= =0, из (5.3) следует, что h2=h1, то есть энтальпия рабочего тела при адиабатном дросселировании не меняется.

Выше отмечалось, что энтальпия идеального газа зависит только от температуры, поэтому постоянство энтальпии означает постоянство температуры. Следовательно, в результате дросселирования идеального газа температура его остается неизменной. Дросселирование реальных газов и, в частности, водяного пара, изучают с помощью h, s – диаграммы, исходя из того, что в результате дросселирования энтропия возрастает (так как это неравновесный процесс), а энтальпия остается постоянной. Температура же может меняться (эффект Джоуля – Томпсона).

Смешение потоков. В ряде случаев необходимо рассчитать параметры рабочего тела, получающегося в результате смешения двух разных потоков. Например, в паровую турбину необходимо подавать пар со строго определенной температурой, а из пароперегревателя котлоагрегата он выходит более горячим. В этом случае в поток пара впрыскивают воду, которая, испаряясь, охлаждает пар до нужной температуры. В смесителе , т.е. энтальпия входящих потоков равна энтальпии выходящего потока. Записав уравнение баланса не для одного килограмма, как в уравнении (5.3), а для всего количества рабочего тела, получим

;

.

Здесь m1, m2 и m3 – соответствующие расходы, кг/с, а h1, h2 и h3 - удельные энтальпии рабочего тела в этих потоках, Дж/кг (см. рисунок).

Совместное решение этих двух уравнений позволяет найти, например, необходимый расход m2 охлаждающей воды, если известны расход m1 и энтальпия h1 на входе в смеситель, энтальпия h2 воды и требуемая энтальпия h3 пара на выходе, определяющая его температуру.

 

Истечение газов и паров

Рассмотрим процесс равновесного (без трения) адиабатного истечения газов через сопло из резервуара, в котором газ имеет параметры р1, v1, Т1. Скорость газа на входе в сопло обозначим через с1. Будем считать, что давление газа на выходе из сопла р2 равно давлению среды, в которую вытекает газ.

Расчет сопла сводится к определению скорости и расхода газа на выходе из него, нахождению площади поперечного сечения и правильному выбору его формы.

Скорость истечения в соответствии с уравнением (5.10)

. (5.11)

Выберем достаточно большую площадь входного сечения сопла, тогда с1=0 и

. (5.12)

где Dh0=h1 - h2 – располагаемый адиабатный теплоперепад.

Массовый расход газа m через сопло, кг/с, определяется из соотношения

, (5.13)

где F2 – площадь выходного сечения сопла.

Перепишем уравнение неразрывности стационарного потока (5.1) в сопловом аппарате в виде

, (5.14)

и возьмем дифференциалы от левой и правой частей уравнения (5.14) при условии m=const,

. (5.15)

Разделив (5.15) на (5.14), получим

, (5.16)

так как v и с – величины положительные, то изменение dF площади сечения вдоль сопла (по координате х) определяется отношением интенсивностей возрастания удельного объема газа и его скорости в процессе его расширения.

Если скорость увеличивается быстрее, чем удельный объем , то сопло должно суживаться , если же - расширяться .

В этом, кстати, отличие от случая истечения несжимаемой жидкости (воды), удельный объем которой не меняется по длине сопла (он не зависит от давления) и поэтому сопло для разгона жидкости всегда делают суживающимся.

При адиабатном равновесном расширении идеальных газов связь между давлением и объемом описывается уравнением (4.12): pvk=const.

Опыт показывает, что с известным приближением это уравнение применимо и к адиабатному процессу водяного пара (для перегретого пара k=1,3).

Преобразуем и продифференцируем уравнение адиабаты, обозначив const буквой С получаем

, , . (5.17)

Разделив обе части уравнения (5.9) на pv и умножив числитель и знаменатель правой части на с, найдем

. (5.18)

Подставив в (5.16) вместо dv/v его выражение из (5.17) с учетом (5.18) получим

(5.19)

(из курса физики известно, что произведение kpv=kRT=a2, где а есть скорость звука в идеальном газе).

Чтобы наглядно представить смысл соотношения (5.19) поставим такой мысленный эксперимент. Пусть среда с параметрами р1, v1 через суживающееся сопло вытекает в объем с регулируемым давлением р2 (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Схема истечения среды через суживающееся сопло в объем с регулируемым давлением при

Давление р1 постоянно (например, это давление в заводской сети сжатого воздуха). Давление р2 будем регулировать вентилем. Когда вентиль полностью закрыт, среда через сопло не течет, т.е. m=0 и р2=р1. По мере открытия вентиля давление в сосуде будет уменьшаться, перепад давлений Dр=р1-р2 будет расти, в соответствии с ним будет увеличиваться и располагаемый теплоперепад Dh0. Газ будет вытекать из сопла с большей скоростью с2 (см. формулу (5.12)).

Из курса физики известно, что возмущение давления распространяется со скоростью звука (собственно, звук и есть колебания давления). Приоткрывая вентиль, мы уменьшаем около него давление, и эта волна давления распространяется от вентиля к выходному срезу сопла, где установится такое же давление, как и у вентиля. При этом увеличится скорость истечения. Наконец, наступит такой момент, когда скорость истечения газа из сопла станет равной скорости звука в вытекающей среде. Импульс пониженного давления, распространяющийся со скоростью звука, не сможет проникнуть в сопло, т.е. внутри сопла изменения скорости потока не будет, как бы мы не открывали вентиль и не снижали давление р2. Отношение давления на срезе суживающегося сопла к давлению перед соплом, при котором скорость истечения становится равной скорости звука в вытекающей среде, называется критическим . В качестве первого приближения можно принять .Более точно ее можно посчитать по специальным формулам.

Если р2<р2кр, то перепад давлений р2кр – р2 срабатывается уже за пределами суживающегося сопла в виде ударных волн, или, как говорят, газодинамики, «скачков уплотнений». Никакой пользы, кроме дикого шума они не приносят (рис. 5.4а).

а б

Рис 5.4. Схема истечения среды через суживающееся сопло (а) и сопло Лаваля (б) при .

Способ использования энергии расширения газа до давления меньше критического и получения сверхзвуковой скорости вытекает из формулы (5.19): если с>а, то для увеличения скорости (dc>0) нужно увеличивать площадь поперечного сечения сопла (dF>0). Дело в том, что при c>a удельный объем газа настолько сильно увеличивается в процессе его расширения, что это требует увеличения площади поперечного сечения, несмотря на увеличение скорости. Впервые на это обратил внимание шведский инженер Лаваль в 80-х годах XIX века. Он предложил сужающееся сопло продолжить расширяющимся (рис. 5.4б) чтобы дать возможность потоку плавно расширяться в нем от р2кр до р2 без скачков уплотнений. Сейчас сопла Лаваля применяют в реактивных двигателях самолетов и ракет. Угол расширения не должен превышать 10 – 12°, чтобы не было отрывов потока от стен, приводящих к появлению скачков уплотнения.

Расход газа от добавления расширяющейся части сопла не увеличивается (он по-прежнему будет определяться величиной скорости звука в самом узком «критическом» сечении – см. рис 5.5). А вот скорость истечения из такого сопла может существенно превышать скорость звука. Ее по прежнему можно рассчитывать по формуле , а площадь выходного сечения – по формуле (5.14).

Рис. 5.5. Зависимость расхода рабочего тела через сопло от перепада давлений в нем