Моделирование случайных процессов
Задание к работе
1. Произвести имитационное моделирование указанного случайного процесса и оценить достоверность полученных результатов, пользуясь статистическими критериями.
Варианты
Вариант 1.
Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей, оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.
Вариант 2.
Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
Вариант 3.
Провести то же моделирование при нормальном законе распределении вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
Вариант 4.
В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис.
Построить зависимость между величинами (amax , bmax), отражающую границу указанной критической ситуации, при равновероятном распределении входных событий.
Вариант 5.
На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулируется и требуется звонить снова. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими.
Вариант 6.
Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что если в момент попытки сделать заказ обе телефонистки заняты, то формируется очередь.
Вариант 7.
Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделировать ситуацию: три абонента пытаются дозвониться до одного и того же лица и в случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное по длительности) время. Какова вероятность, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать это за определенное время Т ?
Вариант 8.
Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что если в момент попытки связаться телефон абонента занят, то формируется очередь.
Вариант 9.
На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, больными с травмами средней степени (в порядке их поступления), и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.
Вариант 10.
Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, при условии, что врачей два, а больные делятся не на три, а на две категории.
Вариант 11.
Одна ткачиха обслуживает группу станков, осуществляя по мере необходимости краткосрочное вмешательство, длительность которого ¾ случайная величина. Какова вероятность простоя сразу двух станков? Как велико среднее время простоя одного станка?
Вариант 12.
Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, если группу станков совместно обслуживают две ткачихи.
Вариант 13.
В городском автохозяйстве две ремонтных зоны. Одна обслуживает ремонты краткой и средней продолжительности, другая — средней и долгой (т.е. среднесрочный ремонт может осуществлять каждая из зон). По мере поломок в автохозяйство доставляют транспорт; промежуток времени между доставками — пуассоновская случайная величина. Продолжительность ремонта — случайная величина с нормальным законом распределения. Смоделировать описанную систему. Каковы средние времена ожидания в очереди транспорта, требующего, соответственно, краткосрочного, среднесрочного и длительного ремонта?
Вариант 14.
Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона (XYIII в.). Автор аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой 
. Эта задача дала способ имитационному определению числа p. Действительно, если L=2l, то 
.
В ходе моделирования выполнить этот расчет.
Вариант 15.
Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0,1] меньше 0,5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае ¾ влево. Распределение случайных чисел принять равновероятным.
Решить задачи: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на n шагов?
Вариант 16.
В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через n шагов в начальную точку?
Вариант 17.
Точка хаотически блуждает на плоскости по узлам квадратной сетки с возможностью делать с равной вероятностью шаги влево-вправо-вверх-вниз на фиксированный (за один ход) шаг. Движение происходит в замкнутом прямоугольном объеме и при соприкосновении со стенкой происходит зеркальное отражение от нее.
Ответить в ходе моделирования на вопрос: как связана частота посещения каждого узла с расстоянием от него до того узла, из которого начинается движение?
Вариант 18.
Смоделировать ту же ситуацию, что и в задании к варианту 11, при условии неограниченной области блуждания, и ответить на заданный вопрос.
Вариант 19.
Смоделировать полет пчелы. На плоскости (поляне) случайным образом растут медоносные растения с заданной концентрацией (на 1 м2). В центре — улей, из которого вылетает пчела. Пчела может долететь от растения до любого другого растения, но вероятность выбора монотонно уменьшается с увеличением расстояния между растениями (по некоторому закону). Какова вероятность посещения пчелой некоторого растения за заданное количество элементарных полетов?
Вариант 20.
Реализовать модель плоского броуновского движения n частиц в прямоугольнике. Частицы считать шариками конечного размера. Удары частиц друг о друга и о стенки моделировать как абсолютно упругие. Определить в этой модели зависимость давления газа на стенки от числа частиц.
Вариант 21.
Разработать в деталях и реализовать модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде. В начальный момент времени каждый газ занимает половину сосуда. Изучить с помощью этой модели зависимость скорости диффузии от различных входных параметров.
Вариант 22.
Реализовать имитационную модель системы «хищник-жертва» по следующей схеме.
«Остров» размером 20х20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики довольно глупы: в каждый момент времени они с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко. В противном случае она теряет 0.1 очка.
Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают.
В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко.
Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.
Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там нет кролика, которого нужно съесть, они производят потомство случайного пола.
Пронаблюдать за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследить, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.
Вариант 23.
Промоделировать процесс распространения инфекции стригущего лишая по участку кожи размером n на n (n ¾ нечетное) клеток.
Предполагается, что исходной зараженной клеткой кожи является центральная. В каждый интервал времени пораженная инфекцией клетка может с вероятностью 0,5 заразить любую из соседних здоровых клеток. По прошествии шести единиц времени зараженная клетка становится невосприимчивой к инфекции, возникший иммунитет действует в течение последующих четырех единиц времени, а затем клетка оказывается здоровой. В ходе моделирования описанного процесса выдавать текущее состояние моделируемого участка кожи в каждом интервале времени, отмечая зараженные, невосприимчивые к инфекции и здоровые клетки.
Проследить, как сказываются на результатах моделирования изменение размеров поля и вероятность заражения.
Вариант 24.
Разработать в деталях и реализовать модель распространения загрязняющих окружающую среду частиц вещества, испускаемых в атмосферу заводской трубой (например, золы, получающейся после сжигания угля на электростанции). Считать движение частицы состоящим из двух компонент: в горизонтальной плоскости — под влиянием случайных порывов ветра (в простейшем случае — как описано в задании к варианту 14), в вертикальном — под действием силы тяжести.
При подготовке к экзамену целесообразно после изучения рекомендуемых литературных источников по программе дисциплины ответить на следующие вопросы для самоконтроля:
1. Модели. Моделирование как метод познания. Формализация. Классификация абстрактных моделей. Компьютерное моделирование.
2. Цели и основные этапы компьютерного математического моделирования. Примеры моделей для различных целей моделирования.
3. Этап формализации. Параметры модели. Классификация моделей по свойствам их параметров. Ранжирование параметров. Устойчивость решений. Анализ результатов моделирования.
4. Различные подходы к классификации математических моделей.
5. Основные виды средств компьютерного моделирования. Визуализация в компьютерном моделировании. Алгоритмы построения графиков функций, траекторий движения объектов.
6. Представление скалярных полей с помощью изолиний. Методы условных цветов, условного контрастирования. Примеры использования визуализации в моделировании.
7. Аналитическое моделирование в физике. Примеры. Классификация моделей по общематематическим свойствам: линейные и нелинейные модели. Примеры. Линеаризация. Интегрирование дифференциальных уравнений.
8. Численное моделирование. Развитие физических теорий. Численный эксперимент. Его взаимосвязи с теорией и лабораторным экспериментом. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту.
9. Достоверность численной модели. Ограничения чисел с плавающей точкой как модели действительных чисел. Обусловленность задач. Устойчивость вычислительных алгоритмов. Анализ и интерпретация численных моделей.
10. Детерминированные физические модели. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды. Модель взлета ракеты.
11. Модели сплошных сред. Моделирование процесса теплопроводности. Понятие о методе конечных разностей.
12. Математические модели в экологии. Основные понятия экологии. Особенности и направления использования математических моделей в биологии. Модель внутривидовой конкуренции в популяции с дискретным размножением.
13. Модели внутривидовой и межвидовой конкуренции в популяции с непрерывным размножением. Анализ модели межвидовой конкуренции.
14. Имитационное моделирование. Модель идеального газа. Эволюционная модель «Жизнь». Оптимизационные модели в экономике.
15. Моделирование стохастических систем, основные понятия. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Его приложения. Моделирование случайной величины с равномерным распределением. Физические генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа. Метод середины квадратов. Недостатки псевдослучайных последовательностей.
16. Общие методы моделирования дискретных и непрерывных случайных величин. Примеры стохастических моделей.
17. Моделирование систем массового обслуживания (СМО). Предмет теории массового обслуживания. Виды СМО. Пример задачи теории массового обслуживания. Функции Пуассона. Основные вопросы, возникающие при имитационном моделировании СМО.
18. Моделирование динамических систем (ДС). Фазовая характеризация ДС. Гармонический и нелинейный осцилляторы, их фазовые портреты. Диссипативные системы. Качественное исследование поведения ДС. Бифуркации.
19. Хаос в динамических системах. Сценарии перехода детерминированного поведения ДС к хаотическому. Механизм Фейгенбаума. Его бифуркационная диаграмма. Неустойчивость хаотических этапов эволюции ДС.
20. Самоорганизация в динамических системах. Диссипативные структуры. Синергетика. Связи между хаосом и самоорганизацией. Системный анализ. Понятие системы. Большие и сложные системы. Два подхода в теории систем. Основные принципы системного анализа. Классификации систем. Роль моделирования в системном анализе и современной математике.