Метод последовательных приближений

Этот метод используется для построения начала таблицы. Формулы метода последовательных приближений:

где b_i – коэффициенты экстраполяционной формулы Адамса, r – порядок практически постоянных в пределах заданной точности разностей. Разностями r-го порядка пренебрегают.

Значения коэффициентов

По этому методу сначала вычисляются приближённо значения y₁, y₂,¼, y_r. Причём y₁ находят по первой формуле, оставляя в ней лишь два слагаемых; y₂ находят по второй формуле, ограничиваясь тремя слагаемыми, и т.д. Далее проводится итерационный процесс до тех пор, пока в пределах заданной точности не совпадут y₁, y₂,¼, y_r, полученные на последнем и предпоследнем этапах. Значения y₁, y₂,¼, y_r, полученные на последнем этапе, принимаются за окончательный результат.

Задание № 7

Решить численно одним из методов с точностью 10^-5 на промежутке [0, 1] дифференциальное уравнение при начальном условии х(0) = 0.

Составить программу решения уравнения (допускается любой язык программирования), привести результаты её реализации и построить график решения. Проверить правильность решения, используя специализированные математические пакеты.

Вариант А

Вариант	Уравнение	а	k
	x ' = cos(at + x) + k(t – x)	1.00	0.50
	-"-	1.25	0.75
	-"-	1.50	1.00
	-"-	1.75	1.25
	-"-	2.00	1.50
	x ' = 1 – sin(at + x) +	1.00	- 0.3
	-"-	1.25	- 0.1
	-"-	1.50	0.1
	-"-	1.75	0.3
	-"-	2.00	0.5
	x ' = + k x²	1.00	- 0.5
	-"-	1.25	- 0.3
	-"-	1.50	- 0.1
	-"-	1.75	0.1
	-"-	2.00	0.3
	x ' = 1 + (a – t)sin(x) – (k + t) x	0.50	1.00
	-"-	0.75	1.25
	-"-	1.00	1.50
	-"-	1.25	1.75
	-"-	1.50	2.00
	x ' = (a – x²)cos(t) + k x	0.6	0.2
	-"-	0.7	0.3
	-"-	0.8	0.4
	-"-	0.9	0.5
	-"-	1.0	0.6

Вариант Б

Вариант	Уравнение	a	k
	x ' = 1 + a x sin(t) – k x²	0.2	1.00
	-"-	0.4	1.25
	-"-	0.6	1.50
	-"-	0.8	1.75
	-"-	1.0	2.00
	x ' = a e^{– (a + t x)} + k(t ² + x)	0.2	0.3
	-"-	0.4	0.4
	-"-	0.6	0.5
	-"-	0.8	0.6
	-"-	1.0	0.7
	x ' =	0.1	0.1
	-"-	0.2	0.2
	-"-	0.3	0.3
	-"-	0.4	0.4
	-"-	0.5	0.5
	x ' = 0.2 ch(a t + x) +	0.3	1.00
	-"-	0.4	1.25
	-"-	0.5	1.50
	-"-	0.6	1.75
	-"-	0.7	2.00
		- 0.5	0.2
	-"-	- 0.4	0.3
	-"-	- 0.3	0.4
	-"-	- 0.2	0.5
	-"-	- 0.1	0.6

Замечание 1. В рамках пакета Mapleпроверка правильности решения задачи осуществляется следующим образом:

Таблица значений решения в узлах сетки с шагом h = 0.05 приведена ниже.

Замечание 2. В рамках пакета Mathcadрешение обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется последовательностью специальных команд.

Сначала формируются "матрицы" (в данном случае скаляры) начальных условий и правой части. Затем командой rkfixed(или какой-либо другой) осуществляется сама процедура решения.