Пытанні да экзамену 2 курс, 1 семестр 2012-2013 навучальны год

АНАЛІТЫЧНАЯ ГЕАМЕТРЫЯ I ПЕРАЎТВАРЭННІ ПЛОСКАСЦІ

1. Метад геаметрычных месц. Асноўныя прыклады.

2. Даказаць, што акружнасць Апалонія для пунктаў A і В мае цэнтр на прамой АВ.

3. Метад пераўтварэнняў. Выпадак паралельнага пераносу.

4. Метад пераўтварэнняў. Выпадак восевай сіметрыі.

5. Метад пераўтварэнняў. Выпадак павароту.

6. Метад пераўтварэнняў. Выпадак гаматэтыі.

7. Крытэр вырашальнасці заданы на будаванне цыркулем і лінейкай.

8. Прыклады невырашальных задач на будаванне. Задача аб трысекцыі вугла.

9. Пераўтварэнне мноства X. Роўнасць двух пераўтварэнняў. Адваротнае пераўтварэнне. Здабытак (кампазіцыя) двух пераўтварэнняў мноства X. Асноўныя ўласцівасці кампазіцыі.

10. Некамутатыўнасць кампазіцыі пераўтварэнняў. Прыклады пераўтварэнняў плоскасці і , для якіх .

11. Група пераўтварэнняў мноства X. Прыклады.

12. Група рухаў плоскасці. Кангруэнтныя фігуры плоскасці. Рэфлексіўнасць, сіметрычнасць і транзітыўнасць адносіны кангруэнтнасці. Што вывучае эўклідава геаметрыя плоскасці?

13. Група пераўтварэнняў G мноства X, G-кангруэнтныя фігуры і G-геаметрыя гэтага мноства. «Эрлангенская праграма» Фелікса Клейна.

14. Афіннае пераўтварэнне плоскасці і яго узаемная адназначнасць. Пераўтварэнне, адваротнае да афіннага. Дзеянне афіннага пераўтварэння на вектары плоскасці.

15. Афіннае пераўтварэнне як лінейнае пераўтварэнне вектараў плоскасці. Яго дзеянне на лінена залежныя і лінейна незалежныя сістэмы вектараў.

16. Задание афіннага пераўтварэння адвольным рэперам плоскасці і яго вобразам пры гэтым пераўтварэнні. Група афінных пераўтварэнняў плоскасці.

17. Тэарэма аб заданні афіннага пераўтварэння дзвюмя тройкамі пунктаў плоскасці агульнага становішча.

18. Формулы афіннага пераўтварэння ў дадзеным афінным рэперы.

19. Фінна-кангруэнтныя фігуры. Афінная геаметрыя плоскасці. Дзеянне афіннага пераўтварэння на прамую, на пару паралельных прамых.

20. Афінныя пераўтварэнні і простая адносіна трох пунктаў. Дзеянне афіннага пераўтварэння на адрэзак прамой і яго цэнтр, на фігуру з цэнтрам.

21. Дзеянне афіннага пераўтварэння на трохвугольнік і паралелаграм. Афінная кангруэнтнасць кожных двух трохвугольнікаў, кожных двух паралелаграмаў.

22. Дзеянне афіннага пераўтварэння на крывыя другога парадку. Выпадак эліпса.

23. Дзеянне афіннага пераўтварэння на крывыя другога парадку. Выпадак гіпербалы.

24. Дзеянне афіннага пераўтварэння на крывыя другога парадку. Выпадак парабалы.

25. Афінныя пераўтварэнні і адносіна плошчаў фігур плоскасці.

26. Як правесці дзве прамыя праз цэнтр паралелаграма, каб яны рассеклі яго на чатыры чатырохвугольніка аднолькавай плошчы?

27. Формулы, якімі задаюцца ў падыходзячым рэперы паралельны перанос, восевая сіметрыя і паварот плоскасці.Рухі плоскасці. Група рухаў плоскасці.

28. Агульная схема класіфікацыі рухаў плоскасці. Сцвярджэнні 1-4. Слізгаючая сіметрыя. Тэарэма Шаля.

29. Адвольны рух плоскасці як кампазіцыя паралельнага пераноса і руха з нерухомым пунктам.

30. Апісанне рухаў плоскасці з нерухомым пунктам.

31. Кампазіцыя паралельнага пераноса і нетрывіяльнага паварота.

32. Кампазіцыя паралельнага пераноса і восевай сіметрыі.

33. Даказаць, што кампазіцыя дзвюх восевых сіметрый есць або паралельны перанос, або паварот.

34. Даказаць, што кожны паралельны перанос есць кампазіцыя дзвюх восевых сіметрый з паралельнымі восямі сіметрыі.

35. Даказаць, што кожны нетрывіяльны паварот есць кампазіцыя дзвюх восевых сіметрый з непаралельнымі восямі сіметрыі.

36. Адвольны pyx плоскасці як кампазіцыя восевых сіметрый.

37. Пераўтварэнні падобнасці. Каэфіцыент падобнасці. Гаматэтыя як прыклад падобнасці. Асноўныя ўласцівасці гаматэтыі.

38. Група падобнасцей плоскасці. Геаметрыя падобнасці.

39. Адвольнае пераўтварэнне падобнасці як кампазіцыя гаматэтыі і руха.

40. Пабудаваць трохвугольнік па тром яго медыянам.

41. Пабудаваць трохвугольнік па тром яго вышыням.

42. Пабудаваць трохвугольнік па вуглу <А, старане a і радыюсу r упісанай акружнасці.

43. На старанах АВ і АС адвольнага ABC пабудаваць пункты X і Y так, каб |ВХ|=|XY| = |YC|.

44. Няхай К - які-небуць пункт унутры адвольнага ABC. Даказаць, што Sabk • + S_BCK • + S_ACK • = .

45. Даказаць, што эліпс адназначна вызначаецца парай сваіх спалучаных дыяметраў.

46. Даказаць, што дыяганалі паралелаграма, апісанага вакол эліпса, змяшчаюць спалучаныя дыяметры гэтага эліпса.

 

Дац. М.В. Мілаванаў