Прямоугольник. Свойства прямоугольника (доказательство)

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

# Дано: АВСD – прямоугольник. Доказать: АС = ВD.

· Рассмотрим прямоугольные треугольники АСD и DВА. Они равны по двум катетам (АВ = СD, АD – общий).

· Следовательно, АС = ВD, .

Признак прямоугольника: если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – прямоугольник.

Ромб. Свойства ромба (доказательство).

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

#

· Поскольку все стороны ромба равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ромб состоит из двух равных равнобедренных треугольников.

· В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой и высотой, следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, .

Квадрат. Свойства квадрата (доказательство).

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого все углы прямые).

Все углы квадрата – прямые, т. к. квадрат – частный случай прямоугольника.

Диагонали квадрата равны, делятся точкой пересечения пополам, взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (квадрат – частный случай прямоугольника, ромба и параллелограмма).

Осевая симметрия.

Точки А и В симметричны относительно прямой а, если а пересекает отрезок АВ под прямым углом и делит его пополам.

Фигура симметрична относительно прямой а, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно а принадлежит фигуре.

Прямая а – ось симметрии.

Центральная симметрия.

Точки А и В симметричны относительно точки О, если АО = ВО.

Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно Опринадлежит фигуре.

Точка О – центр симметрии.

Площади.

Теорема о площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Доказательство: параллелограмм достраивается до прямоугольника, выясняется равенство получившихся треугольников.

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Основание параллелограмма – любая сторона.

Теорема о площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон. Доказательство: прямоугольник достраивается до квадрата со стороной a+b, далее используются различные способы нахождения площади.