Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
На рисунке углы 1и 3, а также углы 2 и 4- вертикальные. Угол2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов 1+2=1800 и 3+2=1800. Отсюда получаем: 1=1800-2, 3=1800-2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак, вертикальные углы равны.
2.Признаки равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
1 признак равенства треугольников:
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1 , углы А и А1 равны. Докажем, что АВС=А1В1С1.
Так как (у)А=(у)А1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 , а сторона АС - со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, значит они равны. ЧТД
3.Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.
Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников : AD – общая ; углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса ; AB=AC, т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. ЧТД.
4. Если прямые параллельны -> угол…. (на выбор)
5. Если угол…..-> прямые параллельны (на выбор)
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Пусть при пересечении прямых а и б секущей с соответственные углы равны, например 1=2.
Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то 2=3. Из этих двух равенств следует, что 1=3. Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые а и б параллельные. ЧТД.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
Сумма углов треугольника равна 1800.
Рассмотрим произвольные треугольник АВС и докажем, что А+В+С=1800.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами про пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому (1)4=1; 5=3.
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5=1800. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: 1+2+3=1800 или А+В+С=1800.ЧТД.
7.Признак равенства прямоугольных треугольников.